У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2…

Задача: число ракушек N такое, что 30 < N < 50, при разложении по 5 остаётся 1, а по 3 остаётся 2.

1. Запишем системы сравнений:

• N ≡ 1 (mod 5)
• N ≡ 2 (mod 3)

2. Решим методом CRT (вариант 1: через общий разбор по модулю 15)

• Числа, которые дают остаток 1 при делении на 5, в диапазоне 0..14: 1, 6, 11.
• Их остатки при делении на 3: 1 → 1, 6 → 0, 11 → 2.
• Единственный вариант с остатком 2 по модулю 3 — это N ≡ 11 (mod 15).

3. Найдём N в диапазоне 30 < N < 50:

• N = 15t + 11. Подбор t даёт значения: t = 1 → 26 (мимо диапазона), t = 2 → 41 (в диапазоне), t = 3 → 56 (сверху).
• В диапазоне 31–49 подходит N = 41.

4. Проверка:

• 41 ÷ 5 = 8 с остатком 1 — верно.
• 41 ÷ 3 = 13 с остатком 2 — верно.

Ответ: 41 ракушка.

Дополнительный быстрый метод (вариант 2)

• Из N ≡ 1 (mod 5) запишем N = 5a + 1.
• Подстановка в N ≡ 2 (mod 3): 5a + 1 ≡ 2 (mod 3) ⇒ 5a ≡ 1 (mod 3) ⇒ 2a ≡ 1 (mod 3) ⇒ a ≡ 2 (mod 3).
• Значит a = 3t + 2, и N = 5a + 1 = 15t + 11.
• В диапазоне 30 < N < 50 получаем t = 2 → N = 41.