У русалочки было более 30,но менее 50 ракушек.Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась,а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, осталось 2 ракушки.…

Задача: у русалочки было больше 30, но меньше 50 ракушек. Когда разложила по 5, осталось 1; по 3 — осталось 2. Сколько ракушек?

Пусть общее число ракушек равно n.

• Условия дают:
  • n ≡ 1 (mod 5) (остаток 1 при делении на 5)
  • n ≡ 2 (mod 3) (остаток 2 при делении на 3)
  • 30 < n < 50

Шаг 1. Выразим n через k по первому условию: n = 5k + 1.

Шаг 2. Подставим во второе условие: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3). 5k ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2k ≡ 1 (mod 3). Делим обе стороны на 2 по модулю 3 (умножим на обратное 2, которое тоже равно 2): k ≡ 2 (mod 3).

Шаг 3. Следовательно, k = 3t + 2. Подставим обратно в n: n = 5k + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11.

Шаг 4. Учтем ограничения: 31 ≤ n ≤ 49 (так как 30 < n < 50). 31 ≤ 15t + 11 ≤ 49 → 20 ≤ 15t ≤ 38 → 1.33 ≤ t ≤ 2.53. Это даёт единственный целый t: t = 2.

Шаг 5. Найдём n: n = 15·2 + 11 = 41.

Проверка:

• 41 ÷ 5 даёт остаток 1. Верно.
• 41 ÷ 3 даёт остаток 2. Верно.

Ответ: 41 ракушка.