найти сумму всех четырехзначных натуральных чисел, в записи каждого из которых присутствуют цифры от 1 до 4 по одному разу

Задача: найти сумму всех четырехзначных чисел, в записи каждого из которых присутствуют цифры 1, 2, 3, 4 по одному разу (то есть все перестановки цифр 1,2,3,4).

Пояснение по шагам (для понятности, включая разбор по разрядам):

1. Сколько чисел всего получается

• Все перестановки цифр 1,2,3,4: 4! = 24 числа.

2. Как распределяются цифры по разрядам

• В разряде тысяч каждая цифра 1,2,3,4 встречается одинаково часто. Чтобы зафиксировать, например, цифру в thousands place, остальные три цифры можно расставить 3! = 6 способами. Значит каждая цифра 1,2,3,4 встречается в разряде тысяч ровно по 6 раз.
• Аналогично и для разрядов сотен, десятков и единиц: каждая цифра встречается в каждом разряде по 6 раз.

3. Вычисление вклада каждого разряда

• Сумма цифр равна 1+2+3+4 = 10.
• Вклад тысячного разряда: 10 (сумма цифр) × 6 (повторения каждой цифры) × 1000 (разряд тысяч) = 10 × 6 × 1000 = 60000.
• Вклад сотенного разряда: 10 × 6 × 100 = 6000.
• Вклад десятков: 10 × 6 × 10 = 600.
• Вклад единиц: 10 × 6 × 1 = 60.

4. Сумма всех чисел

• Итого: 60000 + 6000 + 600 + 60 = 66660.

Ответ: сумма всех таких четырехзначных чисел равна 66660.

Проверка (для понимания): среднее значение всех 24 чисел равно 66660 / 24 = 2777.5. Среднее число получается, если на каждом разряде взять среднее значение цифр: (1+2+3+4)/4 = 2.5, значит среднее число = 2.5·1000 + 2.5·100 + 2.5·10 + 2.5 = 2777.5, что согласуется.