У Русалочки было более 30, но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то осталась 1 ракушка, а когда разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2 ракушки. Сколько ракушек было у Русалочки?

Задача: найти n such that 30 < n < 50, и n делится поровно на 5 с остатком 1, а на 3 с остатком 2. Решение пошагово: 1) Обозначим n как число ракушек. 2) Условие n ≡ 1 (mod 5 означает: n = 5k + 1 для некоторого целого k). 3) Теперь третий остаток: n ≡ 2 (mod 3). подставим n = 5k + 1: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3) → 5k ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2k ≡ 1 (mod 3). Обратный элемент к 2 по модулю 3 есть (2·2 ≡ 1), значит k ≡ 2 (mod 3). Значит k = 3t + 2 для целого t. 4) Подставим обратно: n = 5k + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11. Таким образом, все решения в виде n ≡ 11 (модуль 15). 5) Найдём такое n между 30 и 50: n = 15t + 11. При t = 2 получаем n = 41, при t = 1 — 26 (мимо диапазона), при t = 3 — 56 (мимо диапазона). Значит единственное подходящее значение — n = 41. 6) Проверка: 41 ÷ 5 = 8 остаток 1; 41 ÷ 3 = 13 остаток 2. Всё верно. Ответ: У Русалочки было 41 ракушка.