Многие фразеологизмы (устойчивые сочетания слов), которые мы употребляем в речи, связаны с сюжетами древнегреческих мифов. В Элиде жил царь Авгий. Он был страстным любителем…

Ответ: авгиевы конюшни.

Пояснение по шагам:

• Миф: В Элиде жил царь Авгий, поклонник лошадей. Его конюшни не убирались тридцать лет. Геракл получил задание очистить их.
• Как это стало фразеологизмом: задача казалась практически невозможной без чуда, но Геракл нашёл необычный способ — направил через конюшни две реки (Альфей и Пенея) и промыл навоз и грязь. Эта история стала символом COLLECTIVE massive mess, который можно устранить только усилиями «необычных» способов.
• Значение в современном языке: выражение «авгиевы конюшни» используется для обозначения крайне грязного, запущенного помещения или до того запущенного состояния, что его уборка кажется крайне сложной или почти невозможной.
• Правописание и вариации: обычно пишут «авгиевы конюшни» (низкий регистр). Также встречается форма «Авгиевые конюшни» (употребляется в художественном стиле). Оба варианта понятны и приняты.
• Пример использования: «В подъезде после ремонта остался настоящий авгиевый беспорядок; его нужно не просто мыть, а проводить капитальную уборку»; «Этот архивный склад — авгиевы конюшни: там пыль стелится слоями».

Коротко: авгиевы конюшни — крайне грязное, запущенное помещение, требующее героической уборки наподобие мифического очищения конюшен Авгия. Если хочешь, могу привести дополнительные примеры употребления или аналогии из других языков.