√x²-3x+1>√2x-3

Разберём задачу по шагам и подробно объясним решения. Задача: sqrt(x^2 - 3x + 1) > sqrt(2x - 3) 1) Определим область допустимых значений (домен) - Правило корней: оба radicand должны быть неотрицательны. - 2x - 3 ≥ 0 → x ≥ 3/2. - x^2 - 3x + 1 ≥ 0. Для квадратика с дискриминантом Δ = 9 - 4 = 5 корни: (3 ± √5)/2 ≈ 0.382 и 2.618. Поскольку парабола раскрывается вверх, выражение неотрицательно для x ≤ (3 - √5)/2 или x ≥ (3 + √5)/2. - Совмещая условия: x ≥ 3/2 и (x ≤ 0.382 или x ≥ 2.618) даёт x ≥ (3 + √5)/2 ≈ 2.618. Домен задачи: x ∈ [ (3+√5)/2, ∞ ). 2) Поскольку на домене обе стороны неотрицательны, можно безопасно возвести обе стороны в квадрат (это сохраняет знак неравенства). sqrt(x^2 - 3x + 1) > sqrt(2x - 3) ⇔ x^2 - 3x + 1 > 2x - 3 Упростим: x^2 - 5x + 4 > 0 (x - 1)(x - 4) > 0 Неравенство верно при x < 1 или x > 4. 3) Учтём найденную область допустимости Из шага 1 домен уже требует x ≥ (3+√5)/2 ≈ 2.618. Первая ветвь x < 1 исключается по домену. Значит остаётся только вторая ветвь x > 4. 4) Итог Решение задачи: x ∈ (4, ∞). Проверка на примере: возьмём x = 5. - LHS: sqrt(25 - 15 + 1) = sqrt(11) ≈ 3.316 - RHS: sqrt(10 - 3) = sqrt(7) ≈ 2.646 LHS > RHS, так что x = 5 подходит, что соответствует найденному интервалу. Дополнительный альтернативный метод (меньше шагов, аналогично по смыслу): - Рассмотрим выражение sqrt(A) > sqrt(B) с A = x^2 - 3x + 1, B = 2x - 3, где A ≥ 0, B ≥ 0 на домене. - Приведём через сопряжённое умножение: sqrt(A) > sqrt(B) ⇔ (A - B) / (sqrt(A) + sqrt(B)) > 0. Д denominator > 0 на домене, значит знак неравенства равен знаку A - B = x^2 - 5x + 4. Таким образом снова получаем x^2 - 5x + 4 > 0 → (x - 1)(x - 4) > 0 → x > 4 (с учётом домена).