x2-12x+11

Задача: x^2 - 12x + 11. Рассмотрим по шагам.

1. Поиск факторизации

• Нужно подобрать два числа, которые:
  • умножаются на константу в конце: 11
  • и складываются в коэффициент перед x, то есть в 12
• Пары умножения, дающие 11: 1 и 11 (так как 11 — простое число).
• Их сумма: 1 + 11 = 12, что подходит.

2. Факторизация

• Разлагаем тройку: x^2 - 12x + 11 = (x - 1)(x - 11).
• Проверка: (x - 1)(x - 11) = x^2 - 11x - x + 11 = x^2 - 12x + 11. Верно.

3. Нахождение корней (решение уравнения x^2 - 12x + 11 = 0)

• Из факторизации получаем: (x - 1)(x - 11) = 0.
• Корни: x = 1 или x = 11.

4. Альтернативный способ проверки (дискриминант)

• D = (-12)^2 - 4·1·11 = 144 - 44 = 100.
• Корни: x = (12 ± sqrt(100)) / 2 = (12 ± 10)/2 → x = 11 и x = 1.
• Это совпадает с полученными через факторизацию.

5. Дополнительное представление ( completing the square )

• x^2 - 12x + 11 = (x - 6)^2 - 36 + 11 = (x - 6)^2 - 25 = 0.
• (x - 6)^2 = 25 → x - 6 = ±5 → x = 11 или x = 1.

Ответ:

• Факторизация: x^2 - 12x + 11 = (x - 1)(x - 11).
• Корни уравнения: x = 1 или x = 11.