1) Условие. Плоскости α и β пересекаются по прямой c. Прямые a ⊂ α и b ⊂ β, причём a ∥ b. Докажите, что a, b и c параллельны.

Доказательство (кратко):

• Пусть направление прямой a совпадает с направлением прямой b (так как a ∥ b).
• Так как a ⊂ α, направление a лежит в плоскости α. Так как b ⊂ β, направление b лежит в β. Следовательно одно и то же направление лежит и в α, и в β.
• Это означает, что направление линии лежит в пересечении α ∩ β. Но α ∩ β = c, и направление c — это общие направления линий, лежащих в обеих плоскостях.
• Следовательно направление a параллельно c, и направление b параллельно c. То есть a ∥ c и b ∥ c.

Поскольку a ∥ c и b ∥ c, получаем, что a, b и c параллельны. (Если бы a совпала с c — тоже допустимый случай.)