Дано: прямоугольник ABCD, стороны AB и CD горизонтальны, AD и BC вертикальны. Сторону AD продлевают за D на отрезок DK так, что DK = AD. Нужно объяснить, почему треугольник ACK равновелик прямоугольнику ABCD по площади (то есть площади равны).
Пусть:
- AB = b (ширина прямоугольника),
- AD = h (высота прямоугольника).
Тогда площадь прямоугольника S ABCD = AB · AD = b · h.
Так как DK = AD, то AK = AD + DK = h + h = 2h. Точка K лежит на той же вертикальной прямой, что и A и D, поэтому AK вертикальная длина равна 2h.
Высота треугольника ACK относительно основания AK — это горизонтальное расстояние от точки C до линии AK (то есть до вертикальной прямой x = 0, если взять A как начало координат). Это расстояние равно ширине прямоугольника, т.е. AB = b.
По формуле площади треугольника через основание и высоту имеем:
S ACK = 1/2 · (основание AK) · (высота) = 1/2 · 2h · b = h · b = S ABCD.
Следовательно, треугольник ACK и прямоугольник ABCD равновелик по площади.
Дополнительное замечание (необязательно, но для понимания): можно привести координатно-геометрическое доказательство, выписав координаты A(0,0), B(b,0), C(b,h), D(0,h), а затем K(0,2h). Тогда площадь треугольника ACK через крестовый произведение равна |AC × AK| / 2 = |(b,h) × (0,2h)| / 2 = (b·2h)/2 = b h, что снова равно площади прямоугольника.
