параллелограмме ABCD векторы АВ и CD противоположные. Точка К — середина CD, АК пересекает прямую ВС в точке М. Среди векторов укажи: сонаправленные векторы

Решение векторно-геометрически (для понятности можно выбрать систему координат так, чтобы проистекать по базисам AB и BC).

1. Введем обозначения

• Пусть AB = b, BC = c. Тогда: A = O (ноль), B = b, C = b + c, D = c.
• Вектор CD равен D − C = c − (b + c) = −b, то есть AB и CD противоположны, что и следует из условия задачи для параллелограмма.

2. Точка K и точка M

• K — середина CD. Координаты K: (C + D)/2 = [(b + c) + c]/2 = b/2 + c.
• Прямая AK: направление AK задается вектором K − A = K = b/2 + c.
• Прямая BC: направление BC задается вектором C − B = (b + c) − b = c.

Точка M — пересечение прямой AK и прямой BC. Решаем по параметрам:

• AK: A + t(K) = t(b/2 + c)
• BC: B + s(C − B) = b + s c

Сравнивая по базисам b и c:

• По компоненте вдоль b: t/2 = 1 ⇒ t = 2
• По компоненте вдоль c: t = s ⇒ s = 2

Итак, M = A + 2K = 2K, и M лежит на продолжении линии AK за K. Также M = B + 2c = b + 2c.

3. Векторы, которые у нас есть

• AB = b
• BC = c
• CD = −b
• AD = D − A = c
• AK = K − A = b/2 + c
• AM = M − A = 2K = b + 2c
• KM = M − K = (2K) − K = K = b/2 + c

4. Определим сонаправленные (co-directed) векторы Два вектора сонаправлены, если один является положительной кратной другого.

• AD и BC: AD = c, BC = c → сонаправлены (одинаковые по направлению и по модулю).

• AK, KM, AM:

  • KM = AK, значит KM и AK сонаправлены.
  • AM = 2K = 2(AK) → AM направлен в ту же сторону, что и AK и KM. Следовательно, любые пары из множества {AK, KM, AM} сонаправлены между собой.

• Примечание: AB и CD противоположны ( AB = b, CD = −b ), значит они не сонаправлены.

Итого:

• Сонаправленные пары: AD и BC; AK и KM; AK и AM; KM и AM (то есть все пары внутри группы AK, KM, AM; и одна пара AD, BC).

Кратко: среди данных векторов сонаправлены в парах/группах

• AD ∥ BC
• AK ∥ KM ∥ AM (все пары из этих трёх векторов сонаправлены).