для награждения победителей парусный регаты привезли 10 коробок с розами и 14 коробок с гвоздиками причём гвоздик привезли 90 два цветка больше. сколько роз и сколько гвоздик…

Задача: 10 коробок с розами и 14 коробок с гвоздиками. В каждой коробке роз и гвоздик одинаковое количество цветков внутри (для роз одним числом, для гвоздик — другим). Гвоздик всего на 90 цветков больше роз. Сколько роз и сколько гвоздик получит победители?

Пошаговое решение

1. Обозначим

• a = количество роз в одной коробке (розовых)
• b = количество гвоздиков в одной коробке (гвоздиков)

Тогда всего роз будет:

• 10 коробок × a цветков в коробке = 10a

Всего гвоздик будет:

• 14 коробок × b цветков в коробке = 14b

2. Условие задачи говорит, что гвоздиков на 90 цветков больше, чем роз: 14b = 10a + 90

Переформулируем уравнение: 14b − 10a = 90

3. Упростим уравнение, разделив на 2: 7b − 5a = 45

4. Найдём целые положительные решения. Заметим, что 7b − 5a = 45 требует, чтобы b делился на 5 (проверим модуль): 7b ≡ 45 (mod 5) → 7b ≡ 0 (mod 5) → 2b ≡ 0 (mod 5) → b ≡ 0 (mod 5). Пусть b = 5t, где t — целое число.

Подставим в уравнение: 7(5t) − 5a = 45 → 35t − 5a = 45 → делим на 5: 7t − a = 9 → a = 7t − 9.

5. Требуется, чтобы a было положительным. Это выполняется при t ≥ 2.

• Наименьшее допустимое решение: t = 2 → a = 7·2 − 9 = 5, b = 5t = 10.

6. Получаем totals:

• Роз: 10a = 10·5 = 50
• Гвоздики: 14b = 14·10 = 140

Проверка: 140 − 50 = 90, условие выполняется.

7. Замечание. Есть и другие решения: для любого t ≥ 2 получаем

• a = 7t − 9, b = 5t
• роз: 10a = 70t − 90
• гвоздики: 14b = 70t Разность всегда 90. Но наименьшее возможное количество — это 50 роз и 140 гвоздик (при t = 2).

Ответ: победители получат 50 роз и 140 гвоздик.