На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что АМ:АВ=3:7 и АN:АС — 3:5. Найдите площадь треугольника АВС если площадь Треугольникa AMN…

Решение

Дано:

• M на AB, N на AC;
• AM = (3/7) AB, AN = (3/5) AC;
• площадь AMN = 18.

1. Обозначим площадь треугольника ABC как SABC. Площадь треугольника, образованного двумя сторонами, равна (1/2) · сторона1 · сторона2 · sin угла между ними. Так как AM лежит на AB, а AN лежит на AC, угол MAN равен углу BAC.

2. Выразим площади через AB, AC и угол A: SABC = (1/2) · AB · AC · sin A SAMN = (1/2) · AM · AN · sin A = (1/2) · (3/7 AB) · (3/5 AC) · sin A = (9/70) · AB · AC · sin A

3. Найдем отношение площадей: SAMN / SABC = [(9/70) AB·AC·sin A] / [(1/2) AB·AC·sin A] = (9/70) / (1/2) = 9/35.

Значит SAMN = (9/35) · SABC, откуда SABC = (35/9) · SAMN.

4. Подставим данное SAMN = 18: SABC = (35/9) · 18 = 35 · 2 = 70.

Ответ: площадь треугольника ABC равна 70.