Найти скалярное произведение векторов DA1 и DC1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1

Задача: найти скалярное произведение векторов DA1 и DC1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1.

Условия (без числовых значений): пусть основание — прямоугольник со сторонами a и b, высота — c (AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = c).

1. Ввод координат (для наглядности):

• A = (0, 0, 0)
• B = (a, 0, 0)
• C = (a, b, 0)
• D = (0, b, 0)
• A1 = (0, 0, c)
• B1 = (a, 0, c)
• C1 = (a, b, c)
• D1 = (0, b, c)

2. Вектора, которые нам нужны:

• DA1 = A1 − D = (0, 0, c) − (0, b, 0) = (0, −b, c)
• DC1 = C1 − D = (a, b, c) − (0, b, 0) = (a, 0, c)

3. Скалярное произведение: DA1 · DC1 = (0)(a) + (−b)(0) + (c)(c) = c^2

Ответ: DA1 · DC1 = c^2, то есть квадрат высоты параллелепипеда (AA1^2).

Пояснение:

• Это можно увидеть и разложив вектора как DA1 = DA + AA1 и DC1 = DC + CC1, где DA ⟂ DC и AA1 ∥ CC1, что даёт тот же результат DA1 · DC1 = AA1 · CC1 = c^2.
• Результат не зависит от длин оснований a и b; он зависит только от высоты c.