Задача Задача №3521688
А
А
На двух складах хранится пшено: на первом складе на 16 тонн боль-ше, чем на втором. Каждую полночь владелец каждого склада вору-ет с другого склада четверть имеющегося там пшена и…
Запрос пользователя
На двух складах хранится пшено: на первом складе на 16 тонн боль-ше, чем на втором. Каждую полночь владелец каждого склада вору-ет с другого склада четверть имеющегося там пшена и перетаскивает на свой склад. Через 10 ночей воришек поймали. На каком складе в момент их поимки было больше пшена и на сколько?
Задача решается через разности и сумма двух складов.
- Обозначения и правила на одну ночь
- Пусть A_n и B_n — количества пшена на первом и втором складах после n ночей.
- Изначально: A_0 = B_0 + 16 (на первом на 16 тонн больше).
За одну ночь оба воруют по четверти с другого склада и пополняют свой склад:
- A_n теряет 1/4 от A_n и получает 1/4 от B_n.
- B_n теряет 1/4 от B_n и получает 1/4 от A_n.
Это даёт рекуррентные соотношения:
- A_{n+1} = (3/4) A_n + (1/4) B_n
- B_{n+1} = (1/4) A_n + (3/4) B_n
- Разность хранится смысла Разность D_n = A_n − B_n после каждой ночи меняется как: D_{n+1} = A_{n+1} − B_{n+1} = (1/2) (A_n − B_n) = (1/2) D_n
Следовательно, D_n = D_0 · (1/2)^n.
- D_0 = A_0 − B_0 = 16.
- Значение разности через n ночей D_n = 16 · (1/2)^n.
После 10 ночей: D_10 = 16 · (1/2)^10 = 16 / 1024 = 1/64 тонны.
- Каково больше на момент поимки D_10 > 0, значит на первом складе больше пшена. Разность составляет 1/64 тонна, то есть первый склад имеет больше на 1/64 тонны (примерно 15,625 кг).
Ответ: на первом складе было больше пшена, на 1/64 тонны (≈15,6 кг).
