Точка О - середина каждого из отрезков AF и CD. До-кажите, что треугольники АОС и FOD равны.
Дано: точка O — середина отрезков AF и CD. Значит AO = OF, CO = OD и точки A, O, F лежат на одной прямой, и точки C, O, D лежат на одной прямой.
Цель: доказать, что треугольники ΔAOC и ΔFOD равны (конгруэнтны).
Пошаговое решение:
По условию AO = OF и CO = OD. Также AO и FO лежат на одной прямой AF, а CO и DO лежат на одной прямой CD. Это значит, что углы ∠AOC и ∠FOD являются углами между теми же двумя прямыми AF и CD (причём ориентированные rays AO и FO противоположны, как и CO и DO).
Следовательно, ∠AOC = ∠FOD — углы между прямыми AF и CD одинаковы (перевертывание обеих сторон угла не изменяет величину угла между двумя прямыми).
У треугольников ΔAOC и ΔFOD имеются две пары равных сторон и равный включённый между ними угол:
- AO = FO (изmidpoint),
- CO = OD (из midpoint),
- ∠AOC = ∠FOD (п. 2).
- По признаку SAS (две стороны и включённый между ними угол) треугольники ΔAOC и ΔFOD равны (конгруентны).
Итак, ΔAOC ≅ ΔFOD.
Дополнительный вывод: при конгруэнтности соответствующие стороны и углы совпадают, например AC = FD, углы ∠ACO = ∠FDO и т.д. Но основная цель выполнена: треугольники AOC и FOD равны.
