Как записывается формула для определения ёмкости плоского конденсатора: а) без диэлектрика; б) с диэлектриком? Источник:…

Задача: записать формулы для определения ёмкости плоского конденсатора а) без диэлектрика; б) с диэлектриком.

Цель: понять решение пошагово.

1. Общая определение

• Ёмкость конденсатора определяется как C = Q / V, где Q — заряд на пластинах, V — разность потенциалов между пластинами.
• Для плоского параллельнопластного конденсатора расстояние между пластинами равно d, площадь поверхности одной пластины S (или A).

2. Без диэлектрика (воздух/ vacuum)

• В промежутке между пластинами поле E однородно: E = σ / ε, где σ = Q / S — поверхностительная плотность заряда, а ε — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами.
• Для вакуума ε = ε0.
• Потенциал разности V = E d = (Q / (S ε0)) d.
• Подстановка в C = Q / V дает: C = Q / [ (Q / (S ε0)) d ] = ε0 S / d.
• Итак, формула без диэлектрика: C = ε0 · S / d.

3. С диэлектриком (полное заполнение между пластинами)

• Теперь среда имеет диэлектрическую проницаемость ε = ε0 · εr, где εr — относительная диэлектрическая проницаемость (диэлектрический коэффициент) этого диэлектрика.
• Тогда потенциал V = E d = (Q / (S ε)) d = Q d / (S ε0 εr).
• Подстановка в C = Q / V дает: C = Q / [ Q d / (S ε0 εr) ] = ε0 εr S / d.
• Обычно пишут через диэлектрическую относительную проницаемость κ или εr:
  • C = ε0 εr S / d = κ · (ε0 S / d).
• Примечание: если диэлектрик заполняет пространство между пластинами полностью, использовать вышеуказанную формулу с εr.

4. Вариант по частичному заполнению (дополнительно)

• Если диэлектрик частично заполняет поле между пластинами, то между пластинами образуются слои по цепи (сначала слой толщиной t с диэлектриком εr, затем оставшаяся часть пространства d − t с вакуумом ε0). Тогда приведенная формула для C будет: 1/C = (d − t)/(ε0 S) + t/(ε0 εr S) → C = ε0 S / [ (d − t) + t/εr ].
• Это расширение, если задача требует рассмотреть частичное заполнение.

Итоговые формулы

• а) без диэлектрика: C = ε0 · S / d
• б) с диэлектриком (полное заполнение): C = ε0 · εr · S / d = εr · (ε0 · S / d)

Полезные пометки

• ε0 ≈ 8.85 × 10^−12 Ф/м.
• S — площадь одной пластины (м²), d — расстояние между пластинами (м).
• εr — относительная диэлектрическая проницаемость материала между пластинами (для воздуха/вакуум εr ≈ 1).

Если нужно, могу привести числовой пример или разобрать частичное заполнение подробнее.