Задача Задача №3525651
А
А
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся cо временем по закону U=Ucos(@t+ф), где t…
Запрос пользователя
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся cо временем по закону U=Ucos(@t+ф), где t - время в секундах, Uo = 2 В - амплитуда, = 120°/с - частота, ф = -90° - фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Ответ: 75%.
Коротко рассуждение:
- У = U0 cos(ωt + φ), U0 = 2 В, φ = -90°, ω = 120°/с = 2π/3 rad/с.
- cos(ωt - π/2) = sin(ωt), значит U(t) = 2 sin(ωt).
- Условие свечения: U ≥ 1 => 2 sin(ωt) ≥ 1 => sin(ωt) ≥ 0.5.
- Пусть x = ωt, тогда x ∈ [0, ω] = [0, 2π/3]. sin x ≥ 0.5 на x ∈ [π/6, 5π/6], пересечение с [0, 2π/3] даёт x ∈ [π/6, 2π/3].
- Соответствующее время: t ∈ [π/6 / ω, 2π/3 / ω] = [1/4, 1].
- Продолжительность свечения: 1 − 1/4 = 3/4 с = 0.75 с.
- Доля времени: 0.75 с из 1 с → 75%.
