Объясни тиорему Виета

Кратко: теорема Виета говорит, что для квадратного уравнения связь между его корнями и коэффициентами проста: сумма корней и их произведение выражаются через коэффициенты.

1. Для квадратного уравнения

• Уравнение имеет вид: ax^2 + bx + c = 0, где a ≠ 0.
• Пусть его корни (числа, которые удовлетворяют уравнению) — r1 и r2.

Тогда выполняется следующее:

• Сумма корней: r1 + r2 = -b / a.
• Произведение корней: r1 · r2 = c / a.

Это и есть формулировка теоремы Виета для квадратного уравнения.

2. Как это получается (пошагово)

• Предположим, что уравнение можно разложить на множители: ax^2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2).
• Раскрывая скобки: a(x^2 − (r1 + r2)x + r1r2) = ax^2 − a(r1 + r2)x + a(r1r2).
• Сопоставляем коэффициенты с ax^2 + bx + c:
  • Коэффициент при x: −a(r1 + r2) = b ⇒ r1 + r2 = −b/a.
  • Свойство свободного члена: a(r1r2) = c ⇒ r1r2 = c/a.

3. Примеры

Пример 1

• Уравнение: 2x^2 − 5x + 3 = 0.
• a = 2, b = −5, c = 3.
• По теореме: r1 + r2 = −(−5)/2 = 5/2, а r1r2 = 3/2.
• Факторизация: (2x − 3)(x − 1) = 0, корни x = 3/2 и x = 1.
• Проверка: сумма корней 3/2 + 1 = 5/2, произведение 3/2 — верно.

Пример 2

• Пусть сумма корней и их произведение заданы напрямую: r1 + r2 = 4, r1r2 = 3.
• Тогда длинный вид уравнения: x^2 − (r1 + r2)x + r1r2 = 0 ⇒ x^2 − 4x + 3 = 0.
• Факторизация: (x − 1)(x − 3) = 0, корни x = 1 и x = 3.
• Проверка через формулы: сумма равна 4, произведение 3 — всё сходится.

4. Что это значит на практике

• Если дано квадратное уравнение и нужно найти корни, можно:
  • найти их сумму и произведение по формулам, а затем либо подобрать подходящие числа (если можно разложить на множители), либо применить квадративную формулу.
  • или, если корни известны частично, восстановить коэффициенты по тем же формулам.
• Теорема работает и в общем виде для многочленов, но тогда формулировка чуть сложнее и говорит о суммах и произведениях корней, взятых по разрядам, через коэффициенты многочлена. В школе чаще используют квадратное-case.

Итого

• Теорема Виета устанавливает простую связь между корнями квадратичного уравнения и его коэффициентами: р1 + р2 = −b/a и р1r2 = c/a.
• Это помогает быстро проверить корни, найти их или понять структуру уравнения без сложных вычислений.