в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C внешний угол при вершине А равен 120°, AC + AB = 18 см Найдите AC и AB

Решение задачи по шагам.

Дано: в прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°. Внешний угол при вершине A равен 120°. AC + AB = 18 см. Найти AC и AB.

1. Найдем угол A по внешнему углу

• Внешний угол при вершине A равен 180° − ∠A.
• 180° − ∠A = 120° → ∠A = 60°.

2. Найдем угол B

• В треугольнике сумма углов равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• ∠C = 90°, ∠A = 60° → ∠B = 180° − 90° − 60° = 30°.

3. Узнаем соотношения сторон

• Это прямоугольный треугольник с углами 30°, 60°, 90°. Соотношение сторон таково: против 30° — самая короткая сторона, против 60° — длинная, гипотенуза — вдвое больше самой короткой.
• Обозначим AC как сторону, против 30° (так как ∠B = 30° и AC — против B): AC = x.
• Тогда AB — гипотенуза = 2x, BC = x√3.

4. Используем данное AC + AB = 18

• AC + AB = x + 2x = 3x = 18 → x = 6.

5. Найдем искомые стороны

• AC = x = 6 см.
• AB = 2x = 12 см.
• (Для проверки можно найти BC: BC = x√3 = 6√3 см, и проверить: AB² = AC² + BC² → 144 = 36 + 108, верно.)

Ответ:

• AC = 6 см
• AB = 12 см