(√(7х-5))-(√(3х-2))=√(4х-3)
Задача: sqrt(7x - 5) - sqrt(3x - 2) = sqrt(4x - 3)
Цель: Понять. Дадим подробное решение с объяснениями.
- Определим область допустимых значений (ОДЗ)
- 7x - 5 ≥ 0 → x ≥ 5/7
- 3x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2/3
- 4x - 3 ≥ 0 → x ≥ 3/4 Общая область: x ≥ 3/4.
Перепишем равенство так, чтобы справа был неотрицательный знак Поскольку sqrt(4x - 3) ≥ 0, левая часть sqrt(7x - 5) - sqrt(3x - 2) неотрицательна на ОДЗ, и можно перенести sqrt(3x - 2) в правую часть: sqrt(7x - 5) = sqrt(3x - 2) + sqrt(4x - 3).
Возведём обе стороны в квадрат (слева квадрат суммы). Выпишем по правилам: 7x - 5 = (3x - 2) + (4x - 3) + 2 sqrt[(3x - 2)(4x - 3)]. Упростим: (3x - 2) + (4x - 3) = 7x - 5, поэтому 7x - 5 = 7x - 5 + 2 sqrt[(3x - 2)(4x - 3)].
Отсюда 0 = 2 sqrt[(3x - 2)(4x - 3)], следовательно sqrt[(3x - 2)(4x - 3)] = 0 и значит (3x - 2)(4x - 3) = 0.
- Решим полученное уравнение
- 3x - 2 = 0 → x = 2/3
- 4x - 3 = 0 → x = 3/4
Но учитывая ОДЗ x ≥ 3/4, мы отбрасываем x = 2/3. Остался x = 3/4.
- Проверка Подставим x = 3/4 в исходное уравнение:
- sqrt(7x - 5) = sqrt(21/4 - 5) = sqrt(1/4) = 1/2
- sqrt(3x - 2) = sqrt(9/4 - 2) = sqrt(1/4) = 1/2
- sqrt(4x - 3) = sqrt(3 - 3) = 0
Левая часть: 1/2 - 1/2 = 0, правая: 0. Соответствует. Значит x = 3/4 является решением.
Ответ: единственное решение уравнения x = 3/4.
Обсуждение
2 сообщенияоткуда 2 sqrt[(3x - 2) (4x - 3)]
Давайте рассмотрим это более подробно. Мы начали с уравнения:
\[ \sqrt{7x - 5} = \sqrt{3x - 2} + \sqrt{4x - 3} \]
После этого мы возводим обе стороны уравнения в квадрат. При возведении в квадрат имеет место следующее правило:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Применим это к нашей ситуации:
\[ (\sqrt{3x - 2} + \sqrt{4x - 3})^2 = (\sqrt{3x - 2})^2 + 2\sqrt{3x - 2}\sqrt{4x - 3} + (\sqrt{4x - 3})^2 \]
Таким образом, мы получаем:
\[ (\sqrt{3x - 2} + \sqrt{4x - 3})^2 = (3x - 2) + 2\sqrt{(3x - 2)(4x - 3)} + (4x - 3) \]
Теперь упрощаем правую часть:
\[ (3x - 2) + (4x - 3) = 7x - 5 \]
Подставим это в уравнение:
\[ 7x - 5 = 7x - 5 + 2\sqrt{(3x - 2)(4x - 3)} \]
Теперь если вычтем \(7x - 5\) с обеих сторон, то получим:
\[ 0 = 2\sqrt{(3x - 2)(4x - 3)} \]
Отсюда следует, что:
\[ \sqrt{(3x - 2)(4x - 3)} = 0 \]
Это и привело нас к уравнению \((3x - 2)(4x - 3) = 0\).
Таким образом, \(2\sqrt{(3x - 2)(4x - 3)}\) возникло как промежуточный шаг в процессе возведения в квадрат. Если есть ещё вопросы, пожалуйста, дайте знать!
