cos x/2<√3/2

Задача: cos(x/2) < √3/2

Пошаговое решение:

1. Обозначим t = x/2. Тогда неравенство записывается как cos t < √3/2.

2. Где cos t ровняется √3/2? Это происходит когда t = ±π/6 + 2πk, где k ∈ ℤ.

3. В периоде cos t < √3/2 на промежутке между точками, где cos t = √3/2, то есть внутри промежутка (π/6, 11π/6) по модулю 2π. То есть: t ∈ (π/6 + 2πk, 11π/6 + 2πk), для любых k ∈ ℤ.

4. Возьмём обратное преобразование t = x/2 и умножим на 2: x ∈ (π/3 + 4πk, 11π/3 + 4πk), для любых k ∈ ℤ.

Итак, решение в явном виде:

• x принадлежит объединению интервалов: x ∈ ⋃_{k∈ℤ} (π/3 + 4πk, 11π/3 + 4πk).

Проверка примерами:

• Пусть k = 0: x ∈ (π/3, 11π/3). Возьмём x = π/2 (около 1.57, входит в интервал). Тогда cos(x/2) = cos(π/4) = √2/2 ≈ 0.707 < √3/2 ≈ 0.866, условие выполняется.
• Пусть x = 0: не входит в интервал, и cos(x/2) = 1 не удовлетворяет неравенству.

Примечание по периодичности:

• Мы получили решение с периодом 4π по x, поскольку аргумент x/2 имеет период 2π. Поэтому общий вид объединений интервалов с множителем 4π в смещении.