прямые А и B пересекаются в точке О Докажите что прямая C которая пересекает прямые А и B и не проходит через точку О лежит с ними в одной плоскости
Задача сводится к такому обоснованию: две пересекающиеся прямые A и B лежат в одной плоскости; любая прямая, которая одновременно пересекает A и B, тоже должна лежать в этой же плоскости.
Пошагово:
Так как прямые A и B пересекаются в точке O, существует единственная плоскость π, которая содержит обе прямые A и B. Это свойство геометрии: две пересекающиеся прямые определяют plane.
Пусть прямая C пересекает A в точке P и пересекает B в точке Q. По условию C не проходит через точку O, значит P и Q различны и не совпадают с O (если C пересекала бы и A, и B в одной точке, эта точка была бы O).
Так как P ∈ A и A ⊂ π, то P ∈ π. Аналогично Q ∈ B и B ⊂ π, значит Q ∈ π. Итак, обе точки P и Q лежат в плоскости π.
Прямая C проходит через P и Q, значит C есть прямая, содержащая два точки P и Q. В плоскости π через две её точки проходит уникальная прямая, следовательно прямая C целиком лежит в плоскости π.
Следовательно A, B и C все лежат в одной плоскости π; то есть они coplanar.
Замечание: если бы A и B не пересекались (были параллельны или не лежали в одной плоскости), утверждение было бы неверным. Но в данной задаче условие пересечения A и B в O обеспечивает существование общей плоскости π, и доказательство выше работает.
