2sin(2x-π/3)=1
Задача: 2 sin(2x - π/3) = 1
Цель: Понять решение подробно.
Решение пошагово:
Разделим обе стороны на 2: sin(2x - π/3) = 1/2.
Возьмём замену y = 2x - π/3. Решаем уравнение синуса: sin y = 1/2.
Обобщённое решение для sin y = 1/2: y = π/6 + 2πk или y = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
Возвращаемся к x:
Из y = π/6 + 2πk: 2x - π/3 = π/6 + 2πk 2x = π/6 + π/3 + 2πk = π/2 + 2πk x = π/4 + πk.
Из y = 5π/6 + 2πk: 2x - π/3 = 5π/6 + 2πk 2x = 5π/6 + π/3 + 2πk = 7π/6 + 2πk x = 7π/12 + πk.
Итоговое решение: x = π/4 + πk или x = 7π/12 + πk, где k ∈ Z.
Дополнительно (для интервала [0, 2π)):
- из x = π/4 + πk получаем: x = π/4 и x = 5π/4;
- из x = 7π/12 + πk получаем: x = 7π/12 и x = 19π/12.
Проверка примера:
- Пусть x = π/4. Тогда 2x - π/3 = π/2 - π/3 = π/6, sin(π/6) = 1/2, 2*(1/2) = 1 — верно.
Обсуждение
2 сообщениячерез arcsin
Конечно! Мы можем использовать арксинус для решения уравнения \( 2\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 1 \).
Шаги решения:
Разделяем обе стороны на 2: \[ \sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}. \]
Берем арксинус от обеих сторон: \[ 2x - \frac{\pi}{3} = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right). \]
Значение \( \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \) равно \( \frac{\pi}{6} \) (в первом квадранте).
Учитывая периодичность синуса, добавим также дополнительные решения: \[ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Решим каждое из уравнений по отдельности.
Первое уравнение: \[ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k. \] Преобразуем: \[ 2x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k. \] Делим на 2: \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k. \]
Второе уравнение: \[ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k. \] Преобразуем: \[ 2x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k. \] Делим на 2: \[ x = \frac{7\pi}{12} + \pi k. \]
Итоговое решение: \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Таким образом, вы можете использовать \( \arcsin \) для поиска значений переменной x, основываясь на уравнении \( 2\sin(2x - \pi/3) = 1 \).
