на примере куба выписать прямые перпендикулярные грани

Понимаю задачу как поиск прямых, перпендикулярных граням куба. Рассмотрим куб и выпишем основные прямые, которые перпендикулярны граням (то есть нормали к граням).

Основной подход

• Пусть куб имеет сторону a. Удобнее взять координатную систему так, чтобы центр куба совпадал с началом координат, грани были параллельны осям и располагались на x = ±a/2, y = ±a/2, z = ±a/2.
• Нормали к граням совпадают с направлениями осей: нормаль к граням, параллельным yz-плоскости (x = const), направлена вдоль оси x; нормаль к граням параллельным zx-плоскости (y = const) — вдоль оси y; нормаль к граням параллельным xy-плоскости (z = const) — вдоль оси z.
• Линия перпендикулярна плоскости, если её направляющий вектор параллелен нормали к плоскости.

Три канонические прямые, перпендикулярные граням и проходящие через центр куба

• Lx: линия вдоль оси x через центр. Уравнение: y = 0, z = 0, x произвольный.
  • Перпендикулярна граням x = ±a/2 (левое и правое ребра куба).
• Ly: линия вдоль оси y через центр. Уравнение: x = 0, z = 0, y произвольный.
  • Перпендикулярна граням y = ±a/2 (front и back грани).
• Lz: линия вдоль оси z через центр. Уравнение: x = 0, y = 0, z произвольный.
  • Перпендикулярна граням z = ±a/2 (нижняя и верхняя грани).

Дополнительная поясняющая информация

• Эти три линии являются общими нормалями ко всем парам противоположных граней и проходят через центр куба.
• Для каждого отдельного лица можно построить бесконечное семейство прямых, перпендикулярных этому лицу: они имеют направление вдоль соответствующего нормального вектора. Например:
  • Грань x = a/2: все прямые с направлением (1, 0, 0), храня при этом фиксированные значения y0, z0, то есть линии вида (t, y0, z0).
  • Грань y = a/2: прямые с направлением (0, 1, 0): (x0, t, z0).
  • Грань z = a/2: прямые с направлением (0, 0, 1): (x0, y0, t).
• Если задать сторону a = 2 (чтобы сделать числа простыми и наглядными), центр куба в начале координат, грани на x = ±1, y = ±1, z = ±1. Тогда три канонические линии выглядят так:
  • Lx: y = 0, z = 0, x произвольный.
  • Ly: x = 0, z = 0, y произвольный.
  • Lz: x = 0, y = 0, z произвольный.

Итого

• Если нужно выписать прямые, перпендикулярные граням куба, можно привести три главные прямые, проходящие через центр и перпендикулярные всем граням, образующим три пары противоположных граней: Lx, Ly, Lz как выше.
• Дополнительно можно указать семейства прямых, перпендикулярных конкретным граням, с направлением вдоль соответствующей нормали.