Сумма положительных чисел a и b равна 50. При каких значениях a и b их произведение будет наибольшим?

Задача: положительные числа a и b таковы, что a + b = 50. Найти значения a и b, при которых произведение ab максимальное. Пошаговое решение (пояснение для понятия и без использования сложной математики): 1) Выразим одно число через другое. - Пусть b = 50 − a (так как a + b = 50). 2) Прямой расчет произведения. - P(a) = a · b = a(50 − a) = 50a − a^2. 3) Выражение через квадрат на боковом виде. - Перепишем: P(a) = −(a^2 − 50a) = −[(a − 25)^2 − 625] = 625 − (a − 25)^2. 4) Где максимум? - Так как (a − 25)^2 ≥ 0, получаем P(a) ≤ 625. - Максимум достигается, когда (a − 25)^2 = 0 → a = 25. - Тогда b = 50 − a = 25. 5) Значение максимума. - Максимальное произведение равно P_max = 625. Дополнительные заметки: - Это можно объяснить также через неравенствообразование AM-GM: для положительных чисел с фиксированной суммой сумма S = 50 максимум достигается, когда a = b = S/2 = 25, и P_max = (S/2)^2 = 625. - Если бы требовались целые числа, ответ тот же: a = 25, b = 25, максимум 625. Ответ: a = 25, b = 25, максимальное произведение ab = 625.