Сумма положительных чисел a и b равна 50. При каких значениях a и b их произведение будет наибольшим?

Задача: положительные числа a и b таковы, что a + b = 50. Найти значения a и b, при которых произведение ab максимальное.

Пошаговое решение (пояснение для понятия и без использования сложной математики):

1. Выразим одно число через другое.

• Пусть b = 50 − a (так как a + b = 50).

2. Прямой расчет произведения.

• P(a) = a · b = a(50 − a) = 50a − a^2.

3. Выражение через квадрат на боковом виде.

• Перепишем: P(a) = −(a^2 − 50a) = −[(a − 25)^2 − 625] = 625 − (a − 25)^2.

4. Где максимум?

• Так как (a − 25)^2 ≥ 0, получаем P(a) ≤ 625.
• Максимум достигается, когда (a − 25)^2 = 0 → a = 25.
• Тогда b = 50 − a = 25.

5. Значение максимума.

• Максимальное произведение равно P_max = 625.

Дополнительные заметки:

• Это можно объяснить также через неравенствообразование AM-GM: для положительных чисел с фиксированной суммой сумма S = 50 максимум достигается, когда a = b = S/2 = 25, и P_max = (S/2)^2 = 625.
• Если бы требовались целые числа, ответ тот же: a = 25, b = 25, максимум 625.

Ответ: a = 25, b = 25, максимальное произведение ab = 625.