Найдите коэффициенты 𝘢, 𝘣, 𝘤, 𝘥, 𝘦, если… 12 баллов Введите ответ в предложенные ниже поля. Баллы начисляются только за полностью выполненное задание. (5x–1) ^4

Решение с пошаговыми пояснениями.

Задача: найти коэффициенты a, b, c, d, e в разложении (5x − 1)^4 = a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e.

1. Применяем биномиальную формулу: (u + v)^4 = Σ C(4, k) u^{4−k} v^k, где u = 5x, v = −1.

2. Раскрываем по степеням x:

• k = 0: C(4,0) (5x)^4 (−1)^0 = 1 · 625 x^4 = 625 x^4
• k = 1: C(4,1) (5x)^3 (−1)^1 = 4 · 125 x^3 · (−1) = −500 x^3
• k = 2: C(4,2) (5x)^2 (−1)^2 = 6 · 25 x^2 · 1 = 150 x^2
• k = 3: C(4,3) (5x)^1 (−1)^3 = 4 · 5 x · (−1) = −20 x
• k = 4: C(4,4) (5x)^0 (−1)^4 = 1 · 1 · 1 = 1

3. Собираем полученное в одно выражение: (5x − 1)^4 = 625 x^4 − 500 x^3 + 150 x^2 − 20 x + 1

Итоговые коэффициенты:

• a = 625
• b = −500
• c = 150
• d = −20
• e = 1

Ответ: a = 625, b = −500, c = 150, d = −20, e = 1.