Доказать, что если a, b и c - стороны треугольника, то уравнение b^2*x^2+(b^2+c^2-a^2)*x+c^2=0 не имеет действительных корней.
Задача: доказать, что если a, b и c — стороны треугольника, то уравнение b^2 x^2 + (b^2 + c^2 - a^2) x + c^2 = 0 не имеет действительных корней.
Пошаговое доказательство
Обозначим угол A между сторонами b и c, противоположный стороне a.
По теореме косинусов для треугольника имеем: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A.
Перепишем выражение в коэффициентах уравнения: b^2 + c^2 - a^2 = 2bc cos A.
Найдем дискриминант D квадратного уравнения в степени x: D = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - 4 b^2 c^2 = (2bc cos A)^2 - 4 b^2 c^2 = 4 b^2 c^2 (cos^2 A - 1) = -4 b^2 c^2 sin^2 A.
Для невырожденного треугольника A ∈ (0, π), значит sin A ≠ 0 и sin^2 A > 0. Следовательно D = -4 b^2 c^2 sin^2 A < 0.
Так как дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Замечание по вырожденному случаю: Если треугольник вырожденый (a = b + c), то A = 0 и D = 0. Тогда уравнение превращается в (b x − c)^2 = 0 и имеет двойной действительный корень x = c/b. Но в задаче обычно подразумевается невырождённый треугольник, поэтому D < 0 и корней нет.
Итого: для невырожденного треугольника дискриминант отрицателен, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
