√х-2>х-2

Решение неравенства: sqrt(x) - 2 > x - 2

Исходные данные:

• Область определения: sqrt(x) определено при x ≥ 0.
• Неравенство перепишем так, чтобы убрать одинаковые константы слева и справа.

Шаги решения:

1. Прибавим 2 к обеим сторонам: sqrt(x) > x.

2. Пусть t = sqrt(x). Тогда t ≥ 0 и x = t^2. Неравенство становится: t > t^2.

3. Приведем к стандартному виду: t^2 - t < 0 t(t - 1) < 0.

4. Решение неравенства по произведению: Это определить, когда произведение двух множителей одинаково разных знаков:

   • для t ∈ (0, 1) выполняется.
   • при t = 0 или t = 1 неравенство строгое, поэтому исключаем границы.

5. Возвращаемся к x. Так как t = sqrt(x) ∈ (0, 1), то x = t^2 ∈ (0, 1).

Проверка:

• x = 0: sqrt(0) - 2 = -2, x - 2 = -2 → не строго больше.
• x = 1: sqrt(1) - 2 = -1, x - 2 = -1 → не строго больше.
• Пример внутри диапазона: x = 1/4 → sqrt(1/4) - 2 = 0.5 - 2 = -1.5; x - 2 = -1.75; -1.5 > -1.75, верно.

Ответ: x ∈ (0, 1).