1. Периметр прямоугольника 26 см, одна из его сторон 8 см. Найдите площадь прямоугольника. 2. Площадь квадрата 81 кв. см. Найдите его периметр. 3. Площадь прямоугольника 120 кв.…

Ниже приведены подробные пошаговые решения ко всем 24 задачам. Я предполагаю общую школьную геометрию (без указания предмета/класса).

1. Периметр прямоугольника 26 см, одна сторона 8 см. Найдите площадь.

• Дано: P = 26, a = 8, найдём b.
• Решение: P = 2(a + b) ⇒ 26 = 2(8 + b) ⇒ 13 = 8 + b ⇒ b = 5. Площадь A = a·b = 8·5 = 40.
• Ответ: 40 см².

2. Площадь квадрата 81 см². Найдите его периметр.

• Дано: A = s² = 81 ⇒ s = 9.
• Решение: P = 4s = 4·9 = 36.
• Ответ: 36 cm.

3. Площадь прямоугольника 120 см², одна сторона 10 см. Найдите периметр.

• Дано: S = a·b = 120, a = 10, найдём b.
• Решение: b = S/a = 120/10 = 12. P = 2(a + b) = 2(10 + 12) = 2·22 = 44.
• Ответ: 44 cm.

4. Периметр квадрата 40 см. Найдите его площадь.

• Дано: P = 40 ⇒ s = P/4 = 10.
• Решение: A = s² = 10² = 100.
• Ответ: 100 см².

5. Диагональ прямоугольника 10 см, одна сторона 6 см. Найдите площадь и периметр.

• Дано: a = 6, d = 10, найдём b.
• Решение: d² = a² + b² ⇒ 100 = 36 + b² ⇒ b² = 64 ⇒ b = 8. A = a·b = 6·8 = 48. P = 2(a + b) = 2(6 + 8) = 28.
• Ответ: площадь 48 см², периметр 28 см.

6. Радиус окружности, описанной около квадрата, R = 4 см. Найдите периметр и площадь квадрата.

• Дано: R = 4, для квадрата s = R√2 = 4√2.
• Решение: A = s² = (4√2)² = 32. P = 4s = 4·4√2 = 16√2.
• Ответ: площадь 32 см², периметр 16√2 см.

7. Радиус окружности, вписанной в квадрат, r = 8 см. Найдите площадь и периметр квадрата.

• Дано: r = 8, для квадрата s = 2r = 16.
• Решение: A = s² = 16² = 256. P = 4s = 4·16 = 64.
• Ответ: площадь 256 см², периметр 64 см.

8. Отношение сторон прямоугольника 1:4, его периметр 60 см. Найдите периметр равновеликого квадрата.

• Пусть стороны a = k, b = 4k. P = 2(a + b) = 2(5k) = 10k = 60 ⇒ k = 6. Стороны: a = 6, b = 24. Площадь прямоугольника: A_rect = 6·24 = 144. Равновеликий квадрат имеет площадь 144 ⇒ сторона s = 12, периметр P_square = 4s = 48.
• Ответ: периметр равновеликого квадрата 48 см.

9. Одна сторона прямоугольника в 2 раза больше другой, а его периметр 18 см. Найдите диагональ равновеликого квадрата.

• Пусть стороны: a = 2b. P = 2(a + b) = 2(2b + b) = 6b = 18 ⇒ b = 3, a = 6.
• Равновеликого квадрата по площади: A_rect = a·b = 18 ⇒ сторона квадрата s = √18 = 3√2. Диагональ квадрата d = s√2 = 3√2·√2 = 6.
• Ответ: диагональ равновеликого квадрата = 6 см.

10. Площадь трапеции со сторонами 10, 10, 10 и 22 см.

• Предположим: основания равны 22 и 10, боковые стороны обе 10 (исоскеленая трапеция).
• Разность оснований: Δ = (22 − 10)/2 = 6. По теореме Пифагора для высоты h: l² = h² + Δ² ⇒ 10² = h² + 6² ⇒ h² = 100 − 36 = 64 ⇒ h = 8.
• Площадь A = (b1 + b2)/2 · h = (22 + 10)/2 · 8 = 32/2 · 8 = 16·8 = 128.
• Ответ: 128 см².

11. В трапецию, bases 3 см и 5 см, вписана окружность радиуса 2 см. Найдите площадь и периметр.

• Поскольку в трапеции существует вписанная окружность, она является циркулярной ( tangential ). Тогда A = r · s, где s — полупериметр. Пусть стороны трапеции в порядке: 3, l1, 5, l2. По условию для вписанной окружности выполняется a + c = b + d ⇒ 3 + 5 = l1 + l2 ⇒ l1 + l2 = 8. Периметр P = 3 + 5 + l1 + l2 = 16, полупериметр s = 8. Тогда A = r·s = 2·8 = 16.
• Ответ: площадь 16 см², периметр 16 см.

12. Средняя линия трапеции 10 см, высота 8 см. Найдите площадь.

• Формула площади трапеции: A = m · h, где m — средняя линия, m = (b1 + b2)/2. A = 10 · 8 = 80.
• Ответ: 80 см².

13. Площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.

• Формула: A = (√3/4)a². A = (√3/4)·36 = 9√3.
• Ответ: 9√3 см² (примерно 15.59 см²).

14. Основание равнобедренного треугольника 8 см, боковая сторона 5 см. Найдите площадь и периметр.

• Высота: h = √(5² − (8/2)²) = √(25 − 16) = √9 = 3.
• Площадь A = (base · height)/2 = 8·3/2 = 12.
• Периметр P = 8 + 5 + 5 = 18.
• Ответ: площадь 12 см², периметр 18 см.

15. Стороны треугольника 60 см, 61 см и 11 см. Найдите его площадь.

• Применяем формулу Герона: s = (60 + 61 + 11)/2 = 132/2 = 66. A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] = √[66·6·5·55] = √(108900) = 330.
• Ответ: 330 см².

16. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см.

• В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза = √(2)x, где x — длина каждого катета. Значит x = 10/√2 = 5√2. Площадь A = (x²)/2 = ( (5√2)² )/2 = (50)/2 = 25.
• Ответ: 25 см².

17. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если его катеты 8 см и 15 см.

• Гипотена c = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17. Высота к гипотузе h = (a·b)/c = (8·15)/17 = 120/17 ≈ 7.0588.
• Ответ: ≈ 7.06 см (точно 120/17 см).

18. Катет прямоугольного треугольника 12 см, гипотенуза 20 см. Найдите периметр и площадь.

• Другой катет b = √(c² − a²) = √(400 − 144) = √256 = 16. Площадь A = (a·b)/2 = (12·16)/2 = 96. Периметр P = 12 + 16 + 20 = 48.
• Ответ: площадь 96 см², периметр 48 см.

19. Найдите площадь треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 8 см.

• Это равнобедренный треугольник. Высота h = √(5² − (8/2)²) = √(25 − 16) = 3. Площадь A = (base · height)/2 = 8·3/2 = 12.
• Ответ: 12 см².

20. Диагонали ромба равны 12 см и 35 см. Найдите его площадь.

• В ромбе диагонали перпендикулярны и пересекаются в серединах. A = (d1·d2)/2 = (12·35)/2 = 210.
• Ответ: 210 см².

21. Диагонали ромба 24 см и 10 см. Найдите его площадь и периметр.

• Площадь: A = (24·10)/2 = 120.
• Сторона ромба: a = √[(d1/2)² + (d2/2)²] = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13. Периметр: P = 4a = 52.
• Ответ: площадь 120 см², периметр 52 см.

22. Найдите площадь ромба с периметром 40 см и диагональю 12 см.

• Сторона ромба: a = P/4 = 40/4 = 10.
• Диагональ p = 12, найдём другую диагональ q через связь a² = (p² + q²)/4 ⇒ 100 = (144 + q²)/4 ⇒ 400 = 144 + q² ⇒ q² = 256 ⇒ q = 16.
• Площадь: A = (p·q)/2 = (12·16)/2 = 192.
• Ответ: 192 см².

23. Найдите площадь ромба со стороной 6 см и острым углом 30 градусов.

• Площадь ромба: A = a² sin α, где a = 6, α = 30°. A = 36 · sin 30° = 36 · 1/2 = 18.
• Периметр: P = 4a = 24.
• Ответ: площадь 18 см², периметр 24 см.

24. Найдите площадь параллелограмма со сторонами 5 см и 8 см и углом 60 градусов.

• Площадь: A = ab sin θ = 5 · 8 · sin 60° = 40 · (√3/2) = 20√3.
• Ответ: 20√3 см² (примерно 34.64 см²).

Если нужно, могу перейти к конкретному формату ответов под тест/задание или дать дополнительные пояснения по любой задаче.