Решить

Задача состоит в том, чтобы привести каждое уравнение к более простому виду (обычно к квадратному уравнению) и найти корни. Обычно это достигается заменой переменной на квадрат другой переменной (для четвертиков) или преобразованием рационального уравнения в квадратное. Ниже разбор по каждому пункту из изображения. 1) 12d^4 − 2d^2 − 8 = 0 - Замена: y = d^2. Тогда 12y^2 − 2y − 8 = 0. - Решение квадр.: Δ = (−2)^2 − 4·12·(−8) = 4 + 384 = 388. y = [2 ± √388]/(24) = [1 ± √97]/12. - Корни: d^2 = (1 + √97)/12 (положительно) или d^2 = (1 − √97)/12 (отрицательно). - Реальные корни: d = ±√[(1 + √97)/12] ≈ ±0.952. - Комплексные корни при втором значении: d = ± i√[(√97 − 1)/12]. 2) 2(b^2 − 4)^2 − 8(b^2 − 4) + 8 = 0 - Замена: z = b^2 − 4. Тогда 2z^2 − 8z + 8 = 0. - Δ = (−8)^2 − 4·2·8 = 64 − 64 = 0 → z = 8/(2·2) = 2. - b^2 − 4 = 2 ⇒ b^2 = 6 ⇒ b = ±√6. - Реальные корни: b = ±√6. 3) x/(x − 6) = 1/(x − 5) - Перемножаем знаменатели: x(x − 5) = x − 6. - Приводим к квадратному: x^2 − 5x = x − 6 ⇒ x^2 − 6x + 6 = 0. - Корни: x = [6 ± √(36 − 24)]/2 = 3 ± √3. - Проверка домена: x ≠ 6, 5; полученные корни ≈ 4.732 и 1.268 допустимы. 4) x/(x − 1) + 1/(x + 2) = 2 - Умножаем на (x − 1)(x + 2): x(x + 2) + (x − 1) = 2(x − 1)(x + 2). - Приводим: x^2 + 3x − 1 = 2x^2 + 2x − 4 ⇒ 0 = x^2 − x − 3. - Корни: x = [1 ± √13]/2. - Домены: x ≠ 1, −2; обе корня допустимы. 5) −12d^4 + 2d^2 − 8 = 0 - Замена: y = d^2. Тогда −12y^2 + 2y − 8 = 0 ⇒ 12y^2 − 2y + 8 = 0. - Δ = (−2)^2 − 4·12·8 = 4 − 384 = −380 < 0. - Реальных корней нет. Комплексные корни существуют: y = [2 ± i√380]/24 = [1 ± i√95]/12; d^2 равно этому, значит d — комплексные корни. 6) 5x^4 − 2x^2 − 15 = 0 - Замена: y = x^2. Тогда 5y^2 − 2y − 15 = 0. - Δ = (−2)^2 − 4·5·(−15) = 4 + 300 = 304. √304 = 4√19. - y = [2 ± 4√19]/10 = [1 ± 2√19]/5. - Реальные корни появляются при y > 0: y1 = (1 + 2√19)/5 > 0; y2 < 0. - x^2 = y1 → x = ±√[(1 + 2√19)/5]. - Численно: x ≈ ±1.393. 7) 6t^2 − t + 4 = 0 - Δ = (−1)^2 − 4·6·4 = 1 − 96 = −95 < 0. - Нет вещественных корней (есть комплексные: t = [1 ± i√95]/12). 8) 6t^2 − t − 4 = 0 - Δ = (−1)^2 − 4·6·(−4) = 1 + 96 = 97. - t = [1 ± √97]/(12). Два вещественных корня. 9) 2t^2 − 8t + 8 = 0 - Упростим: 2(t^2 − 4t + 4) = 0 ⇒ (t − 2)^2 = 0. - Корень: t = 2 (повторяющийся). 10) t^2 − t − 3 = 0 - Δ = 1 + 12 = 13. - t = [1 ± √13]/2. Два вещественных корня. 11) 5t^2 − 2t − 15 = 0 - Замена: дискриминант Δ = (−2)^2 − 4·5·(−15) = 4 + 300 = 304. - t = [2 ± √304]/(10) = [2 ± 4√19]/10 = [1 ± 2√19]/5. - Реальные корни: t^2 = y1 > 0 с y1 = (1 + 2√19)/5; корни t = ±√y1. Аналогично как пункт 6. 12) t^2 − 6t + 6 = 0 - Δ = 36 − 24 = 12. - t = [6 ± √12]/2 = 3 ± √3. Два вещественных корня. Если хочешь, могу привести компактную сводку или проверить каждую пару на какие-либо дополнительные условия (например, графики корней, численные значения, графическое решение и т.д.).