прямоугольный треугольники меридианы проведена к гипотенузе делит прямой угол в отношении два к одному найдите углы

Задача: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при C проведена медиана CM к гипотенузе AB. Пусть CM делит прямой угол ∠ACB в отношении 2:1. Найдите углы треугольника.

Решение (пошагово):

• Обозначим треугольник ABC так, что ∠C = 90°, AB — гипотенуза, M — середина AB, CM — медиана к гипотенузе.
• Так как CM делит угол C в отношении 2:1, имеем: ∠ACM = 60°, ∠MCB = 30°. ( сумма этих двух углов равна ∠ACB = 90°; 2x + x = 90° ⇒ x = 30°).
• Так как M — середина гипотенузы AB, расстояния AM, BM и CM равны между собой: AM = CM = BM = AB/2. В треугольнике AMC стороны AM и CM равны, следовательно ∠MAC = ∠ACM. Поскольку ∠ACM = 60°, получаем ∠MAC = 60°. Тогда в треугольнике AMC сумма углов равна 180°, значит ∠AMC = 60°. Следовательно треугольник AMC равносторонний и AC = AM = CM = AB/2.
• По теореме Пифагора в правильном треугольнике: AB^2 = AC^2 + BC^2. Подставим AC = AB/2: AB^2 = (AB/2)^2 + BC^2 ⇒ BC^2 = AB^2 − AB^2/4 = 3AB^2/4, откуда BC = (√3/2) AB.
• Найдём угол ∠A. В прямоугольном треугольнике ∠A противоположен бок BC, а соседствует с AC. Тогда tan ∠A = BC/AC = ( (√3/2)AB ) / ( AB/2 ) = √3. Значит ∠A = 60°. Тогда ∠B = 90° − ∠A = 30°.

Ответ: углы треугольника равны ∠A = 60°, ∠B = 30°, ∠C = 90°.