Основания трапеции равны 3 и 11. Найдите больший из отрезков, на который делит среднюю линию этой трапеции одна из еë диагоналей

Задача: основание трапеции равны 3 и 11. Найдите больший из отрезков, на который делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. Решение 1) Обозначим bases трапеции как a = 3 (меньшее) и b = 11 (большее). Средняя линия EF трапеции равна (a + b)/2 = (3 + 11)/2 = 7, но это значение нам позже не обязательно напрямую использовать. 2) Упростим геометрию, разместив трапецию так: - основание CD длиннее и лежит на оси y = 0: D = (0, 0), C = (b, 0) = (11, 0); - верхнее основание AB лежит на линии y = h и имеет длину a: A = (0, h), B = (a, h) = (3, h). Тогда средняя линия EF соединяет midpoints AD и BC: - E — середина AD: E = ((0+0)/2, (h+0)/2) = (0, h/2); - F — середина BC: F = ((3+11)/2, (h+0)/2) = (14/2, h/2) = (7, h/2). Длина EF равна 7, что согласуется с теоремой о средней линии (средняя линия равна полусумме оснований). 3) Рассмотрим диагональ AC: A(0, h) → C(11, 0). Любая точка диагонали может быть записана как A + t(C − A) = (t·11, h(1 − t)). Её пересечение со среднюю линией EF (уровень y = h/2) достигается при h(1 − t) = h/2, значит t = 1/2. Тогда координата пересечения P равна P = (11/2, h/2) = (5.5, h/2). 4) Точка пересечения диагонали BD с EF: диагональ BD идёт из B(3, h) в D(0, 0). Аналогично параметрически B + s(D − B) = (3 + s(−3), h(1 − s)). Чтобы получить y = h/2, нужно h(1 − s) = h/2 → s = 1/2. Следовательно, точка Q на EF имеет координаты Q = (3 + (−3)/2, h/2) = (1.5, h/2). 5) Прямые EF идут от E = (0, h/2) до F = (7, h/2). Длины частей, образованных точкой пересечения диагоналей: - Диагональ AC даёт деление EF на EP и PF: EP = x(P) − x(E) = 5.5 − 0 = 5.5 = b/2, PF = x(F) − x(P) = 7 − 5.5 = 1.5 = a/2. - Диагональ BD даёт деление EF на EQ и QF: EQ = x(Q) − x(E) = 1.5 − 0 = 1.5 = a/2, QF = x(F) − x(Q) = 7 − 1.5 = 5.5 = b/2. Таким образом, независимо от того, какой диагональю делится средняя линия, отрезки, на которые она делится, имеют длины a/2 и b/2. 6) Так как b > a, больший из этих двух отрезков равен b/2 = 11/2 = 5,5. Ответ: 11/2.