Биссектриса AD равнобедренного треугольника ABC с основанием AC в два раза больше биссектрисы BE . Найдите углы треугольника ABC . Ответ укажите в градусах

Ответ: ∠A = ∠C = 36°, ∠B = 108°.

Пошаговое решение:

1. Обозначения

• Треугольник ABC равнобедрен с основанием AC, значит AB = BC. Обозначим стороны стандартно: a = BC, b = CA, c = AB. Тогда a = c.
• Обозначим углы: ∠B = β, ∠A = ∠C = α. Тогда 2α + β = 180°, т.е. α = (180° − β)/2.

2. Формулы для биссектрис Длина биссектрисы из вершины A:

• l_A^2 = b c [1 − a^2/(b + c)^2]. Длина биссектрисы из вершины B:
• l_B^2 = a c [1 − b^2/(a + c)^2].

Учитывая a = c, получаем:

• l_A^2 = a b [1 − a^2/(b + a)^2] = a b^2 (b + 2a)/(b + a)^2.
• l_B^2 = a^2 [1 − b^2/(2a)^2] = a^2 (4 − (b/a)^2)/4.

Дано: AD = 2 · BE, значит l_A = 2 l_B, или l_A^2 = 4 l_B^2.

3. Ввод t = b/a Пусть t = b/a (> 0). Приведём выражения к размерности a^2:

• l_A^2 = a^2 · t^2 (t + 2) / (t + 1)^2.
• l_B^2 = a^2 (4 − t^2)/4.

Условие l_A^2 = 4 l_B^2 даёт: t^2 (t + 2)/(t + 1)^2 = 4 − t^2.

Раскрывая и приводя к одному полюсу, получаем многочлен: t^4 + 3 t^3 − t^2 − 8 t − 4 = 0, который разлагается как (t^2 − t − 1)(t + 2)^2 = 0.

Единственный допустимый положительный корень: t^2 − t − 1 = 0 ⇒ t = (1 + √5)/2 = φ ≈ 1.618.

4. Связь b/a с углом β В равнобедренном треугольнике AB = BC, противолежащий β угол связан с сторонами так: b^2 = a^2 + c^2 − 2ac cos β. Так как a = c,得到 b^2 = 2 a^2 (1 − cos β) = 4 a^2 sin^2(β/2), откуда b/a = 2 sin(β/2).

Следовательно: t = b/a = 2 sin(β/2) ⇒ 2 sin(β/2) = φ ⇒ sin(β/2) = φ/2 = sin 54°. Значит β/2 = 54°, β = 108°.

5. Найдём углы α α = α = (180° − β)/2 = (180° − 108°)/2 = 72°/2 = 36°.

Итак, углы треугольника ABC:

• ∠A = 36°
• ∠B = 108°
• ∠C = 36°.

Ответ: 36°, 108°, 36°.