Задача Задача №3532446
А
А
Спускаемый аппарат массой 2 900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая…
Запрос пользователя
Спускаемый аппарат массой 2 900 кг с космонавтами на борту отсоединился от международной космической станции (МКС), находящейся на высоте 400 км над поверхностью Земли. Какая масса сгоревшего топлива маршевого двигателя должна вылететь из его сопла, чтобы скорость спускаемого аппарата уменьшилась на 1%? Временем вылета продуктов горения из сопла можно пренебречь. Ускорение свободного падения на орбите МКС равно 8,63 м/с?. Радиус Земли равен 6 400 км. Скорость истечения раскаленных газов из сопла равна 11 км/с. Ответ укажите в СИ и округлите до десятых.
Задача решается по ракетной формуле для малого изменения скорости.
Дано:
- масса спускаемого аппарата m0 = 2900 кг
- скорость истечения газов ve = 11 км/с = 11000 м/с
- радиус Земли R = 6400 км = 6.4e6 м
- высота орбиты h = 400 км, значитr = R + h = 6800 км = 6.8e6 м
- ускорение свободного падения на орбите g = 8.63 м/с²
- Найдём орбитальную скорость на высоте 400 км (для круговой орбиты v0 ≈ sqrt(g r)):
- v0 = sqrt( g · r ) = sqrt(8.63 · 6.8e6) ≈ sqrt(58.68e6) ≈ 7659 м/с
- 1% от этой скорости: Δv = 0.01 · v0 ≈ 0.01 · 7659 ≈ 76.6 м/с
- По ракетоуравнению (импульс из-за расхода пропеллента):
- Δv = ve · ln(m0 / m1)
- отсюда m1 = m0 · e^(−Δv / ve)
- масса сгоревшего топлива Δm = m0 − m1 = m0 · [1 − e^(−Δv / ve)]
- Подсчёт:
- Δv / ve = 76.6 / 11000 ≈ 0.00696
- e^(−Δv/ve) ≈ e^(−0.00696) ≈ 0.99306
- m1 ≈ 2900 · 0.99306 ≈ 2879.9 кг
- Δm = 2900 − 2879.9 ≈ 20.1 кг
Ответ (в СИ, с точностью до десятых): 20,1 кг.
