(ctg 2πx-10π/3) = √3 Решите уравнение В ответе укажите наименьший неотрицательный корень.

Задача: cot(2πx − 10π/3) = √3. Найдем наименьший неотрицательный корень.

Пошаговое решение:

1. Обозначим θ = 2πx − 10π/3. Тогда cot θ = √3.
2. Это означает, что tan θ = 1/√3 = √3/3. Значения θ, при которых tan θ = √3/3, задаются как θ = π/6 + kπ, где k ∈ Z (период tan равен π).
3. Подставим θ обратно: 2πx − 10π/3 = π/6 + kπ.
4. Решим относительно x: 2πx = π/6 + kπ + 10π/3. Приведем к общему знаменателю: π/6 + 10π/3 = π/6 + 20π/6 = 21π/6 = 7π/2. Значит 2πx = 7π/2 + kπ. Делим на 2π: x = (7π/2 + kπ) / (2π) = 7/4 + k/2. Итак, общий вид решений: x = 7/4 + k/2, k ∈ Z.
5. Найдем наименьшее неотрицательное значение. Подставим последовательность k = 0, −1, −2, …:
   • k = 0: x = 7/4 = 1.75
   • k = −1: x = 5/4 = 1.25
   • k = −2: x = 3/4 = 0.75
   • k = −3: x = 1/4 = 0.25
   • k = −4: x = −1/4 (отрицательно) Таким образом, наименьшее неотрицательное решение: x = 1/4.

Проверка (для уверенности): подставим x = 1/4: 2πx − 10π/3 = π/2 − 10π/3 = −17π/6. cot(−17π/6) = √3 (период cot равен π), проверка верна.

Ответ:

• Общий множитель решений: x = 7/4 + k/2, k ∈ Z.
• Наименьшее неотрицательное значение: x = 1/4.