3x^2-7x+4=0
Задача: 3x^2 - 7x + 4 = 0
Цель: понять (пошагово разобраться в решении), для класса 8 по алгебре.
Способ 1: метод факторизации (доказательство и шаги)
- Запишем произведение a·c для коэффициентов при x^2 и свободного члена: a = 3, c = 4, a·c = 12.
- Нужно найти два числа, которые дают в сумме b = -7 и произведение = 12. Эти числа: -3 и -4 (так как (-3) + (-4) = -7 и (-3)·(-4) = 12).
- Раскроем средний член с помощью этих чисел: 3x^2 - 7x + 4 = 3x^2 - 3x - 4x + 4.
- Далее выпишем по частям: = 3x(x - 1) - 4(x - 1).
- Вынесем общий множитель (x - 1): = (3x - 4)(x - 1).
- Теперь каждую скобку приравняем к нулю: 3x - 4 = 0 или x - 1 = 0.
- Решения: x = 4/3 или x = 1.
Способ 2: через квадратное уравнение (формула дискриминанта)
- Коэффициенты: a = 3, b = -7, c = 4.
- Вычислим дискриминант D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4·3·4 = 49 - 48 = 1.
- Корни даются формулой: x = [ -b ± sqrt(D) ] / (2a) = [ 7 ± 1 ] / 6.
- Получаем: x = (7 + 1)/6 = 8/6 = 4/3, x = (7 - 1)/6 = 6/6 = 1.
Ответ: x = 1 или x = 4/3.
Пояснение выбора метода
- В этом примере легко подобрать разложение middle-term, потому что можно найти пары чисел, умноженные на 12 и суммирующиеся в -7. Это классический подход для 8 класса.
- Также можно проверить решение через формулу квадратного уравнения, что полезно на случай сомнений или если факторизация не очевидна.
Обсуждение
2 сообщенияа где дискриминант
Дискриминант (D) в квадратном уравнении имеет важное значение для нахождения корней. Давайте подробно рассмотрим, как его вычислить для уравнения \(3x^2 - 7x + 4 = 0\).
Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) коэффициенты:
- \(a = 3\)
- \(b = -7\)
- \(c = 4\)
Формула для вычисления дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим значения: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 \] \[ D = 49 - 48 \] \[ D = 1 \]
Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем определить количество и тип корней уравнения:
- Если \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня.
- Если \(D = 0\), уравнение имеет один двойной корень.
- Если \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней.
В нашем случае \(D = 1 > 0\), значит, уравнение \(3x^2 - 7x + 4 = 0\) имеет два различных корня.
Теперь находить корни, используя формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{7 \pm 1}{6} \]
Найдем два корня: \[ x_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] \[ x_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
Таким образом, корни уравнения:
- \(x_1 = \frac{4}{3}\)
- \(x_2 = 1\)
Если будут еще вопросы относительно дискриминанта или других аспектов решения, не стесняйтесь спрашивать!
