В прямоугольнике АВСD выбирают случайным образом точку. Какова вероятность, что точка будет выбрана из треугольника АВС

Дано: прямоугольник ABCD, выбираем случайную точку внутри прямоугольника (по равномерному распределению по площади). Нужно найти вероятность, что точка окажется в треугольнике ABC.

Стратегия:

• Диагональ AC делит прямоугольник на два равновеликих треугольника: ABC и ACD.
• Поэтому площади этих треугольников равны между собой и сумма их площадей равна площади прямоугольника.
• Следовательно, площадь треугольника ABC равна половине площади прямоугольника.

Следствие:

• Вероятность выбрать точку в треугольнике ABC равна площади(ABC) / площадь(ABCD) = 1/2.

Дополнительно можно увидеть так же через координаты. Пусть A(0,0), B(w,0), C(w,h), D(0,h). Тогда площадь прямоугольника = wh. Площадь треугольника ABC вычисляется как 1/2 |det(AB, AC)| = 1/2 |(w,0) и (w,h)| = 1/2 wh. Соответственно вероятность = (1/2 wh) / (wh) = 1/2.

Ответ: 1/2 (50%).