разложи на множители: 3x²-2xy-2y²=0

Задача: разложить на множители 3x^2 − 2xy − 2y^2 = 0.

Пошагово:

1. Рассматриваем как квадратное уравнение по x: 3x^2 − 2yx − 2y^2 = 0.

2. Пусть t = x/y (y ≠ 0). Тогда получаем квадратное уравнение для t: 3t^2 − 2t − 2 = 0.

3. Решаем дискриминант: D = (-2)^2 − 4·3·(-2) = 4 + 24 = 28. Корни: t = [2 ± sqrt(28)] / (2·3) = [2 ± 2√7] / 6 = (1 ± √7) / 3.

4. Следовательно, исходное выражение можно разложить как произведение двeх линейных множителей: 3x^2 − 2xy − 2y^2 = 3 (x − t1 y)(x − t2 y), где t1 = (1 + √7)/3, t2 = (1 − √7)/3.

5. Проверка/замечания: Раскрывая скобки, получаем 3x^2 − 2xy − 2y^2, так что разложение верно. Альтернативно можно записать корни уравнения 0 как x/y = t1 или x/y = t2, то есть две прямые: x = t1 y и x = t2 y.

Пример числа: t1 ≈ 1.2153, t2 ≈ −0.5486, поэтому примерно 3x^2 − 2xy − 2y^2 ≈ 3 (x − 1.2153y)(x + 0.5486y).

Итоговое разложение над действительными числами: 3x^2 − 2xy − 2y^2 = 3 (x − ((1 + √7)/3) y) (x − ((1 − √7)/3) y).