Автомат получает на вход трехзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам. 1. Перемножаются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного…
Автомат получает на вход трехзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам. 1. Перемножаются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного числа. 2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (без разделителей). Пример. Исходное число: 291 . Произведения: 2 ⋅ 9 = 18 ; 9 ⋅ 1 = 9 . Результат: 189 . Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 213 .
Класс задачи: разбор для средней школы. Цель: понять решение пошагово.
Задача: найти наименьшее трехзначное число such, чтобы после обработки выход был 213. Правила обработки: для исходного числа с цифрами a, b, c вычисляются p1 = ab и p2 = bc. Затем два полученных числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (то есть сначала большее из p1, p2, затем меньшее). Полученная строка — это итоговый результат.
Пусть исходное число имеет цифры a, b, c (a ∈ {1,...,9}, b ∈ {0,...,9}, c ∈ {0,...,9}). p1 = ab, p2 = bc. Итоговый вывод = конкатенация max(p1, p2) затем min(p1, p2).
Нужно получить итог 213. Разберём возможные разбиения строки "213" на две части, где левая часть — это max(p1, p2):
- Разбиение 2 | 13: тогда max(p1,p2) = 2 и min(p1,p2) = 13. Но это противоречит условию max ≥ min, так как 2 < 13. Значит это разбиение невозможно.
- Разбиение 21 | 3: max(p1,p2) = 21 и min(p1,p2) = 3. Это допустимо (21 ≥ 3). Других допустимых разбиений нет, поэтому требуемые значения произведений должны быть p1 и p2 такими, что {p1, p2} = {21, 3} (в любом порядке).
Найдём цифры a, b, c, удовлетворяющие p1 = ab и p2 = bc равными 21 и 3 (один из вариантов: p1 = 21, p2 = 3, либо наоборот).
- Вариант A: ab = 21 и bc = 3. Возможные разложения 21 = ab с цифрами: возможны (a,b) = (7,3) или (21,1) и т. д., но a должно быть цифрой 1–9, поэтому единственный подходящий выбор: b = 3 и a = 7. Тогда из bc = 3 получаем c = 1 (потому что 3*1 = 3). Получаем число 731.
- Вариант B: ab = 3 и bc = 21. Здесь из 3 = ab с цифрами: возможно (a,b) = (3,1) или (1,3). Если b = 1, то bc = 21 значит c = 21, что невозможно (цифра). Поэтому рассматриваем b = 3 и a = 1. Тогда из bc = 21: 3c = 21 → c = 7. Получаем число 137.
Проверка:
- Для 731: p1 = 73 = 21, p2 = 31 = 3. Максимум 21, минимум 3 → конкатенация "21" || "3" = 213.
- Для 137: p1 = 13 = 3, p2 = 37 = 21. Максимум 21, минимум 3 → конкатенация "21" || "3" = 213.
Выбираем наименьшее исходное число. Из возможных вариантов 731 и 137 наименьшее — 137.
Ответ: 137
Проверка ещё раз: 137 → 13 = 3 и 37 = 21; раз в порядке невозрастания: 21, 3 → 213.
