корень 122

Задача: найти квадратный корень из числа 122 (то есть sqrt(122)).

Ответ: sqrt(122) приблизительно равно 11.0454 (то есть около 11.05, если округлять до сотых).

Пошаговое решение и объяснения (для 7 класса, цель — Понять):

• Шаг 1. Проверка простого множителя 122 = 2 · 61. Ни одно число больше 1, квадра которого делит 122, не является квадратом. Значит sqrt(122) не можно упростить до более простого целого множителя под корнем. То есть корень остаётся sqrt(122).

• Шаг 2. Оценка, в каком промежутке лежит sqrt(122) 11^2 = 121, 12^2 = 144. Значит sqrt(122) лежит между 11 и 12. Число 122 ближе к 121, чем к 144, поэтому sqrt(122) ближе к 11, чем к 12.

• Шаг 3. Быстрая точная аппроксимация линейной близостью Пусть x = 1. Рассматриваем функцию f(t) = sqrt(t). При t близко к 121: sqrt(121 + x) ≈ sqrt(121) + x / (2 sqrt(121)) = 11 + x / 22. Для x = 1 получаем приблизительно 11 + 1/22 ≈ 11.04545.

• Шаг 4. Метод Ньютона (упрощённо, чтобы показать проверку) Начнём с приближённого корня 11. x1 = (11 + 122/11) / 2 = (11 + 11.090909...) / 2 ≈ 11.0454545. Это уже очень близко к истинному значению. Можно ещё одним шагом проверить: x2 ≈ (x1 + 122/x1) / 2 ≈ 11.04536. Итоговое значение примерно 11.04536–11.04545.

• Шаг 5. Итог sqrt(122) ≈ 11.0454 (до четырёх знаков после запятой). Примерно 11.05, если округлить до сотых.

Если хочешь, могу привести ещё одно методическое упражнение: найти ближайшее целое число к sqrt(122) или округлить до других знаков.