421(420). Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний уменьшится в 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен…

Для решения задачи воспользуемся формулой для частоты колебаний пружинной системы:

\[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}, \]

где:

• \( f \) — частота колебаний,
• \( k \) — жесткость пружины,
• \( m \) — масса груза.

В условиях задачи сказано, что после подвешивания гирьки частота уменьшилась в 1,41 раза. Обозначим первоначальную массу груза как \( m_1 \) и массу после подвешивания гирьки как \( m_2 \).

Запишем частоты для обеих ситуаций:

1. Для первоначального груза: \[ f_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_1}}. \]

2. Для груза с добавленной гирькой: \[ f_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_1 + 0.1}}. \]

По условию задачи, частота уменьшилась в 1,41 раза, что можно записать как:

\[ f_2 = \frac{f_1}{1.41}. \]

Подставим выражения для частот в это уравнение:

\[ \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_1 + 0.1}} = \frac{1}{1.41} \cdot \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m_1}}. \]

Упростим, сократив \( \frac{1}{2\pi} \) и \( k \):

\[ \sqrt{\frac{1}{m_1 + 0.1}} = \frac{1}{1.41} \sqrt{\frac{1}{m_1}}. \]

Возведем обе стороны в квадрат:

\[ \frac{1}{m_1 + 0.1} = \frac{1}{1.41^2 m_1}. \]

Умножим обе стороны на \( m_1(m_1 + 0.1) \):

\[ m_1 = \frac{m_1 + 0.1}{1.41^2}. \]

Решим это уравнение. Переносим все на одну сторону:

\[ 1.41^2 m_1 = m_1 + 0.1. \]

Упрощаем:

\[ (1.41^2 - 1) m_1 = 0.1. \]

Подставим значение \( 1.41^2 \approx 1.9881 \):

\[ (1.9881 - 1) m_1 = 0.1, \] \[ 0.9881 m_1 = 0.1. \]

Теперь найдем массу \( m_1 \):

\[ m_1 = \frac{0.1}{0.9881} \approx 0.1012 \text{ кг} \approx 101.2 \text{ г}. \]

Таким образом, первоначальная масса груза была примерно 101.2 граммов.