Решить пример по системе Крамера x+y+z=4 x-y+2z=1 x+2y=5

Разберём систему по методу Крамера. Система: - x + y + z = 4 - x − y + 2z = 1 - x + 0y + 2y? Нет: x + 2y = 5 → x + 2y + 0z = 5 Коэффициентная матрица A и правой части b: - A = [ [1, 1, 1], [1,−1, 2], [1, 2, 0] ] - b = [4, 1, 5]^T 1) Детerminант D = det(A) D = det([ [1, 1, 1], [1,−1, 2], [1, 2, 0] ]) Вычислим по формуле: D = 1 * det([[-1, 2], [2, 0]]) − 1 * det([[1, 2], [1, 0]]) + 1 * det([[1, −1], [1, 2]]) det([[-1,2],[2,0]]) = (−1)*0 − 2*2 = −4 det([[1,2],[1,0]]) = 1*0 − 2*1 = −2 det([[1,−1],[1,2]]) = 1*2 − (−1)*1 = 2 + 1 = 3 D = (−4) − (−2) + 3 = −4 + 2 + 3 = 1 D ≠ 0, поэтому решение уникальное. 2) D_x — заменяем первую колонку на b A_x = [ [4, 1, 1], [1,−1, 2], [5, 2, 0] ] D_x = det(A_x) Вычислим: D_x = 4 * det([[-1, 2], [2, 0]]) − 1 * det([[1, 2], [5, 0]]) + 1 * det([[1, −1], [5, 2]]) det([[-1,2],[2,0]]) = −4 det([[1,2],[5,0]]) = 1*0 − 2*5 = −10 det([[1,−1],[5,2]]) = 1*2 − (−1)*5 = 2 + 5 = 7 D_x = 4*(−4) − 1*(−10) + 1*(7) = −16 + 10 + 7 = 1 x = D_x / D = 1 / 1 = 1 3) D_y — заменяем вторую колонку на b A_y = [ [1, 4, 1], [1, 1, 2], [1, 5, 0] ] D_y = det(A_y) Вычислим: D_y = 1 * det([[1, 2], [5, 0]]) − 4 * det([[1, 2], [1, 0]]) + 1 * det([[1, 1], [1, 5]]) det([[1,2],[5,0]]) = 1*0 − 2*5 = −10 det([[1,2],[1,0]]) = 1*0 − 2*1 = −2 det([[1,1],[1,5]]) = 1*5 − 1*1 = 4 D_y = 1*(−10) − 4*(−2) + 1*(4) = −10 + 8 + 4 = 2 y = D_y / D = 2 / 1 = 2 4) D_z — заменяем третью колонку на b A_z = [ [1, 1, 4], [1,−1, 1], [1, 2, 5] ] D_z = det(A_z) Вычислим: D_z = 1 * det([[-1, 1], [2, 5]]) − 1 * det([[1, 1], [1, 5]]) + 4 * det([[1, −1], [1, 2]]) det([[-1,1],[2,5]]) = (−1)*5 − 1*2 = −5 − 2 = −7 det([[1,1],[1,5]]) = 1*5 − 1*1 = 4 det([[1,−1],[1,2]]) = 1*2 − (−1)*1 = 2 + 1 = 3 D_z = 1*(−7) − 1*(4) + 4*(3) = −7 − 4 + 12 = 1 z = D_z / D = 1 / 1 = 1 Итог: x = 1, y = 2, z = 1. 5) Проверка (подстановка в исходные уравнения): - x + y + z = 1 + 2 + 1 = 4 OK - x − y + 2z = 1 − 2 + 2·1 = 1 OK - x + 2y = 1 + 4 = 5 OK Ответ: x = 1, y = 2, z = 1.