Катер прошёл 40км по течению реки и 6км против течения, затратив на весь путь 3ч. Каково собственая скорость катера если скорость течения 2км/ч?
Задача: катер прошёл 40 км по течению и 6 км против течения, всего за 3 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найти собственную скорость катера в неподвижной воде.
Решение пошагово:
Обозначим собственную скорость катера в неподвижной воде как v (км/ч).
Скорость катера по течению: v + 2 км/ч. Скорость против течения: v - 2 км/ч (поток равно 2 км/ч).
Время в пути: время downstream + время upstream: 40/(v + 2) + 6/(v - 2) = 3.
Очистим уравнение от дробей. Умножим обе части на (v + 2)(v - 2) = v^2 - 4: 40(v - 2) + 6(v + 2) = 3(v^2 - 4).
Раскроем скобки и приведём подобные: 40v - 80 + 6v + 12 = 3v^2 - 12 46v - 68 = 3v^2 - 12 0 = 3v^2 - 46v + 56.
Решим квадратное уравнение 3v^2 - 46v + 56 = 0. Дискриминант: D = (-46)^2 - 4·3·56 = 2116 - 672 = 1444; sqrt(D) = 38. v = [46 ± 38] / (2·3) = (46 ± 38) / 6. Возможны два корня: v1 = (46 + 38)/6 = 84/6 = 14; v2 = (46 - 38)/6 = 8/6 ≈ 1.33.
Проверка на физическую осуществимость: скорость против течения должна быть положительной, т.е. v > 2. Значение v ≈ 1.33 нельзя, так как тогда v - 2 < 0. Следовательно, верно только v = 14 км/ч.
Ответ: собственная скорость катера в неподвижной воде равна 14 км/ч.
Проверка (помощь уверенности):
- Скорость по течению: 14 + 2 = 16 км/ч → время 40 / 16 = 2.5 ч.
- Скорость против течения: 14 - 2 = 12 км/ч → время 6 / 12 = 0.5 ч.
- Всего: 2.5 + 0.5 = 3 ч, что согласуется с условием.
