3x+4\x²-16=x²/x²-16

Задача: 3x + 4x^2 - 16 = x^2/x^2 - 16, при этом x ≠ 0 (так как в правой части есть x^2 в знаменателе).

Пояснение и решение пошагово:

• Пусть x ≠ 0. Тогда x^2/x^2 = 1, следовательно правая часть равна 1 - 16 = -15.
• Уравнение превращается в 3x + 4x^2 - 16 = -15.
• Перенесем все в одну сторону: 4x^2 + 3x - 16 + 15 = 0 ⇒ 4x^2 + 3x - 1 = 0.
• Найдём корни квадратного уравнения. Дискриминант D = 3^2 - 44(-1) = 9 + 16 = 25.
• Корни: x = [-3 ± √25]/(2*4) = (-3 ± 5)/8.
  • x1 = (-3 + 5)/8 = 2/8 = 1/4
  • x2 = (-3 - 5)/8 = -8/8 = -1
• Проверка домена: x ≠ 0. Оба найденных корня не равны нулю, значит допустимы.
• Проверка подстановкой (для уверенности):
  • для x = 1/4: LHS = 3(1/4) + 4(1/16) - 16 = 3/4 + 1/4 - 16 = -15; RHS = (1)/1 - 16 = -15.
  • для x = -1: LHS = 3(-1) + 4(1) - 16 = -3 + 4 - 16 = -15; RHS = 1 - 16 = -15. Оба корня верны.

Ответ: x ∈ { -1, 1/4 }.

Примечание на случай другой трактовки: если задача была 3x + 4x^2 - 16 = x^2/(x^2 - 16), то решение будет другое. Уточните, если нужно разобрать именно такой вариант.