система: x/y +y/x=13/6 x+y=5

Цель: Понять решение детально.

Условия задачи:

• x/y + y/x = 13/6
• x + y = 5
• x ≠ 0, y ≠ 0 (из-за деления)

Способ 1. Через сумму и произведение (системная симметрия)

1. Обозначим s = x + y и p = xy. Из условия x + y = 5 имеем s = 5.
2. Выразим x/y + y/x через s и p: x/y + y/x = (x^2 + y^2)/xy = ((x + y)^2 - 2xy)/xy = (s^2 - 2p)/p.
3. Подставим значения и приравняем к 13/6: (s^2 - 2p)/p = 13/6. Так как s = 5, получаем: (25 - 2p)/p = 13/6.
4. Преобразуем: 25/p - 2 = 13/6 25/p = 13/6 + 2 = 25/6 p = 25 / (25/6) = 6. Значит, xy = p = 6.
5. Теперь x и y являются корнями квадратного уравнения t^2 - s t + p = 0: t^2 - 5t + 6 = 0. Раскладывается как (t - 2)(t - 3) = 0. Следовательно, t = 2 или t = 3.
6. Значит пары (x, y) — перестановки 2 и 3: (x, y) = (2, 3) или (3, 2).

Способ 2. Прямое подстановочное решение (проверка)

1. Из x + y = 5 выразим y = 5 - x и подставим в x/y + y/x = 13/6: x/(5 - x) + (5 - x)/x = 13/6.
2. Умножим на 6x(5 - x): 6x^2 + 6(5 - x)^2 = 13x(5 - x).
3. Раскроем и приведем к квадратному уравнению: 6x^2 + 6(25 - 10x + x^2) = 65x - 13x^2 12x^2 - 60x + 150 = 65x - 13x^2 25x^2 - 125x + 150 = 0 x^2 - 5x + 6 = 0 (x - 2)(x - 3) = 0 → x = 2 или x = 3.
4. Соответственно y = 5 - x даёт y = 3 или y = 2.
5. Получаем те же пары: (2, 3) и (3, 2).

Ответ:

• x = 2, y = 3
• или x = 3, y = 2

Если нужно, могу привести ещё больше вариантов объяснения или проверить на аналогичных примерах.