При работе реактивного двигателя самолёта выбрасывается масса газов, равная четверти массы самого неподвижного самолёта без топлива, а их скорость — 0 , 3 0,3 км/с. Определите…

Решение.

Дано:

• масса неподвижного самолета без топлива (чистая масса) — M.
• масса газов, выбрасываемых двигателем, m = M/4.
• скорость газов относительно самолета (скорость истечения) — u = 0,3 км/с.
• движение рассматривается без внешних горизонтальных сил (порядок сбережения импульса), потери энергии пренебрегаем.

Обозначим V — скорость самолета относительно земли после выброса газов.

Газовый поток движется назад относительно самолета со скоростью u, значит его скорость относительно земли составляет v_g = V − u.

Сохранение импульса для системы «самолет + выброшенные газы» (до выброса импульс равен нулю): (Массa остатка самолета)·V + (Масса газов)·v_g = 0

Остаточная масса самолета после выброса газов равна M − m, а сумма масс равна M (поскольку M = (M − m) + m = M − M/4 + M/4 = M).

Тогда: (M − m)·V + m·(V − u) = 0 M·V − m·u = 0 V = (m/M)·u

Подставляем m = M/4: V = ( (M/4) / M ) · u = (1/4) · 0,3 км/с = 0,075 км/с

Итак, скорость самолета при взлёте относительно земли: 0,075 км/с, что равно 75 м/с. Округление до тысячных даёт 0,075 км/с.

Замечание для deeper понимания:

• Если рассматривать непрерывное сгорание топлива и использовать уравнение Тсиолковского ΔV = u · ln(M0/Mf) с M0 = M и Mf = 3M/4, то получится примерно ΔV ≈ 0,086 км/с. Разница возникает из-за различий в моделях расхода массы (мгновенная выплеснуть порция против непрерывного истечения). В условии задачи предполагается разовая выпуск массой m = M/4, поэтому результат 0,075 км/с соответствует данной постановке.