Решение.
Дано:
- масса неподвижного самолета без топлива (чистая масса) — M.
- масса газов, выбрасываемых двигателем, m = M/4.
- скорость газов относительно самолета (скорость истечения) — u = 0,3 км/с.
- движение рассматривается без внешних горизонтальных сил (порядок сбережения импульса), потери энергии пренебрегаем.
Обозначим V — скорость самолета относительно земли после выброса газов.
Газовый поток движется назад относительно самолета со скоростью u, значит его скорость относительно земли составляет v_g = V − u.
Сохранение импульса для системы «самолет + выброшенные газы» (до выброса импульс равен нулю):
(Массa остатка самолета)·V + (Масса газов)·v_g = 0
Остаточная масса самолета после выброса газов равна M − m, а сумма масс равна M (поскольку M = (M − m) + m = M − M/4 + M/4 = M).
Тогда:
(M − m)·V + m·(V − u) = 0
M·V − m·u = 0
V = (m/M)·u
Подставляем m = M/4:
V = ( (M/4) / M ) · u = (1/4) · 0,3 км/с = 0,075 км/с
Итак, скорость самолета при взлёте относительно земли:
0,075 км/с, что равно 75 м/с. Округление до тысячных даёт 0,075 км/с.
Замечание для deeper понимания:
- Если рассматривать непрерывное сгорание топлива и использовать уравнение Тсиолковского ΔV = u · ln(M0/Mf) с M0 = M и Mf = 3M/4, то получится примерно ΔV ≈ 0,086 км/с. Разница возникает из-за различий в моделях расхода массы (мгновенная выплеснуть порция против непрерывного истечения). В условии задачи предполагается разовая выпуск массой m = M/4, поэтому результат 0,075 км/с соответствует данной постановке.
