Площади параллелограмма равна 32, а две его стороны 8 и 16
Задача: дан параллелограмм с двумя смежными сторонами 8 и 16 и площадью 32. Найдём угол между сторонами, высоты и диагонали.
Пошаговое решение:
Используем формулу площади параллелограмма S = a b sin θ, где a = 8, b = 16, θ — угол между сторонами.
Найдём синус угла sin θ = S / (a b) = 32 / (8 · 16) = 32 / 128 = 1/4.
Угол между сторонами θ может быть либо острым, либо supplementary (180° − θ), но синус одинаковый. θ = arcsin(1/4) ≈ 14,48°. Дополнительный вариант угла: 180° − 14,48° ≈ 165,52°.
Высоты, опираясь на базу 8 и 16
- высота к базе 8: h8 = S / 8 = 32 / 8 = 4;
- высота к базе 16: h16 = S / 16 = 32 / 16 = 2.
Косинус угла (для освещения угла и диагоналей) cos θ = √(1 − sin² θ) = √(1 − (1/4)²) = √(1 − 1/16) = √(15/16) = √15 / 4.
Диагонали Для параллелограмма с сторонами a, b и углом θ диагонали имеют длины d1² = a² + b² + 2ab cos θ, d2² = a² + b² − 2ab cos θ.
Подстановка: 2ab cos θ = 2·8·16·(√15/4) = 64√15. Тогда d1² = 64 + 256 + 64√15 = 320 + 64√15, d2² = 320 − 64√15.
Значения диагоналей: d1 = 8√(5 + √15) ≈ 23,8, d2 = 8√(5 − √15) ≈ 8,6.
Итоги:
- sin θ = 1/4, θ ≈ 14,48° (или ≈ 165,52°).
- высоты: h8 = 4, h16 = 2.
- диагонали: d1 ≈ 23,8 и d2 ≈ 8,6 (точно: d1 = 8√(5 + √15), d2 = 8√(5 − √15)).
