Найди наименьшее значение функции f(x)=−2x3+6x+4 на отрезке [−1 ;2]

Задача: найти наименьшее значение функции f(x) = −2x^3 + 6x + 4 на отрезке [−1, 2].

Пошаговое решение:

1. Найдем производную: f'(x) = d/dx (−2x^3 + 6x + 4) = −6x^2 + 6 = −6(x^2 − 1) = −6(x − 1)(x + 1).

2. Найдем критические точки: f'(x) = 0 дают x = −1 и x = 1. В интервале [−1, 2] обе точки учитываются: x = −1 — граница отрезка, x = 1 — внутренняя точка.

3. Вычислим значения функции в важных точках:

   • f(−1) = −2(−1)^3 + 6(−1) + 4 = 2 − 6 + 4 = 0
   • f(1) = −2(1)^3 + 6(1) + 4 = −2 + 6 + 4 = 8
   • f(2) = −2(2)^3 + 6(2) + 4 = −16 + 12 + 4 = 0

4. Сравним значения: 0, 8, 0. Наименьшее значение равно 0, достигается в точках x = −1 и x = 2.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [−1, 2] равно 0, достигается при x = −1 и x = 2.