(x-1)в квадрате +9=(5-2x)в квадрате

Задача: (x-1)^2 + 9 = (5-2x)^2

Цель: понять решение подробно и понятно.

Способ 1 (раскроем скобки и решим квадратное уравнение)

1. Раскроем квадраты:

• (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1, значит слева: x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 - 2x + 10
• (5-2x)^2 = 4x^2 - 20x + 25, значит справа: 4x^2 - 20x + 25

2. Уравнение становится: x^2 - 2x + 10 = 4x^2 - 20x + 25

3. Перенесём всё в одну сторону: 0 = 4x^2 - 20x + 25 - x^2 + 2x - 10 0 = 3x^2 - 18x + 15

4. Разделим на 3 for упрощения: 0 = x^2 - 6x + 5

5. Решим квадратное уравнение: Дискриминант D = (-6)^2 - 4·1·5 = 36 - 20 = 16 x = [6 ± sqrt(16)] / 2 = [6 ± 4] / 2 Получаем x = 1 и x = 5

6. Проверка (когда хочется проверить):

• Для x = 1: левая часть = (1-1)^2 + 9 = 0 + 9 = 9; правая = (5 - 2·1)^2 = 3^2 = 9. Ок.
• Для x = 5: левая = (5-1)^2 + 9 = 16 + 9 = 25; правая = (5 - 2·5)^2 = (-5)^2 = 25. Ок.

Ответ: x = 1 или x = 5.

Способ 2 (альтернативный подход через разность квадратов)

1. Перепишем как (x-1)^2 - (5-2x)^2 + 9 = 0 и применим разность квадратов: ( (x-1) - (5-2x) ) · ( (x-1) + (5-2x) ) + 9 = 0 Преобразуем скобки: (3x - 6) · (-x + 4) + 9 = 0 -3(x-2)(x-4) + 9 = 0 3(x-2)(x-4) = 9 (x-2)(x-4) = 3 Раскроем и решим: x^2 - 6x + 8 = 3 → x^2 - 6x + 5 = 0 Дискриминант 16, корни x = 1 и x = 5 (как и ранее).

Оба метода дают одинаковый ответ.

Итог: x = 1 или x = 5.