В треугольнике ABC угол C равен 90°.CH-высота,AH=5,4, cos A=3/5 найти AB

Дано: треугольник ABC со звонком C = 90°, CH — высота на AB, AH = 5,4, cos A = 3/5. Нужно найти AB.

Разбор и решение:

• Так как угол C равен 90°, гипотенуза треугольника — AB.

• По данному cos A = 3/5 имеем AC/AB = 3/5. Обозначим AB = 5k, AC = 3k, BC = 4k (это треугольник 3-4-5, просто пропорции к гипотенузе).

• Свойство высоты, опущенной на гипотенузу в прямоугольном треугольнике: AH = AC^2 / AB. Подстановка AC = 3k и AB = 5k даёт AH = (3k)^2 / (5k) = 9k/5.

• По условию AH = 5,4. Следовательно: 9k/5 = 5,4 → k = (5,4 · 5) / 9 = 27/9 = 3.

• Тогда AB = 5k = 5 · 3 = 15.

Проверка (кратко):

• HB = AB − AH = 15 − 5,4 = 9,6.
• CH^2 = AH · HB = 5,4 · 9,6 = 51,84 → CH = 7,2.
• Площадь: (1/2) AB · CH = (1/2) · 15 · 7,2 = 54, а также (1/2) AC · BC = (1/2) · 9 · 12 = 54. Всё совпадает.

Ответ: AB = 15.